TEN Równanie pierwszego stopnia jest równaniem, które ma niewiadomą stopnia 1. Równania są zdaniami matematycznymi, które mają niewiadome, czyli litery reprezentujące nieznane wartości, oraz równość. Zdanie matematyczne równania pierwszego stopnia to Thex + B = 0, gdzie The oraz B są liczbami rzeczywistymi i The różni się od 0. Celem napisania równania pierwszego stopnia jest znalezienie wartości niewiadomej, która spełnia równanie. Ta wartość jest znana jako rozwiązanie lub pierwiastek równania.
Przeczytaj też: Równanie wykładnicze — równanie, które ma co najmniej jedną niewiadomą w jednym z wykładników
Tematy w tym artykule
- 1 - Podsumowanie równania I stopnia
- 2 - Co to jest równanie pierwszego stopnia?
-
3 - Jak obliczyć równanie pierwszego stopnia?
- → równanie I stopnia z niewiadomą
- ? Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
- 4 - Równanie I stopnia w Enem
- 5 - Rozwiązane ćwiczenia na równaniu I stopnia
Podsumowanie równania I stopnia
Równanie pierwszego stopnia to zdanie matematyczne, które ma niewiadome 1 stopnia.
Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą ma unikalne rozwiązanie.
Zdanie matematyczne opisujące równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą to Thex + B = 0.
Aby rozwiązać równanie pierwszego stopnia z niewiadomą, wykonujemy operacje po obu stronach równości, aby wyizolować niewiadomą i znaleźć jej wartość.
Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma rozwiązania nieskończone.
Zdanie matematyczne opisujące równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi to Thex + By + c = 0
Równanie pierwszego stopnia jest powtarzającym się terminem w Enem, który zwykle zawiera pytania wymagające interpretacji tekstu i złożenia równania przed jego rozwiązaniem.
Co to jest równanie pierwszego stopnia?
Równanie to zdanie matematyczne, które ma równość i jedną lub więcej niewiadomych.. Niewiadome są nieznanymi wartościami i do ich reprezentacji używamy liter, takich jak x, y, z.
To, co określa stopień równania, to wykładnik niewiadomego. Zatem, gdy wykładnik niewiadomej ma stopień 1, mamy równanie pierwszego stopnia. Zobacz przykłady poniżej:
2x + 5 = 9 (równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, x)
y – 3 = 0 (równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, y)
5x + 3y – 3 = 0 (równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, x i y)
Teraz nie przestawaj... Więcej po reklamie ;)
Jak obliczyć równanie pierwszego stopnia?
Przedstawiamy daną sytuację jako równanie, gdy dążymy do: znajdź wartości, które może przyjąć niewiadoma, które sprawiają, że równanie jest prawdziwe, czyli znajdź rozwiązania lub rozwiązanie równania. Zobaczmy poniżej, jak znaleźć rozwiązanie równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą i rozwiązania równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
→ Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
TEN Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą jest równaniem typu:
\(ax+b=0\ \)
W tym zdaniu The oraz B są liczbami rzeczywistymi. Jako odniesienie używamy symbolu równości. Przed nim mamy pierwszy człon równania, a po znaku równości mamy drugi człon równania.
Aby znaleźć rozwiązanie tego równania, staramy się wyizolować zmienną x. odejmijmy B po obu stronach równania:
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
Teraz podzielimy przez The po obu stronach:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
Ważny:Ten proces wykonywania akcji po obu stronach równania jest często opisywany jako „przejście na drugą stronę” lub „przejście na drugą stronę wykonując operację odwrotną”.
Przykład 1:
Znajdź rozwiązanie równania:
2x - 6 = 0
Rezolucja:
Aby wyizolować zmienną x, dodajmy 6 po obu stronach równania:
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
Teraz podzielimy przez 2 z obu stron:
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
Znajdujemy jako rozwiązanie równania x = 3. Oznacza to, że jeśli podstawimy 3 w miejsce x, równanie będzie prawdziwe:
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
Przykład 2:
Równanie możemy rozwiązać bardziej bezpośrednio, stosując metodę praktyczną:
\(5x+1=-\ 9\)
Najpierw określmy, co jest pierwszym członem równania, a co drugim członem równania:
Aby znaleźć rozwiązanie równania, wyizolujemy niewiadomą na pierwszym elemencie równania. W tym celu to, co nie jest nieznane, zostanie przekazane drugiemu członowi wykonującemu operację odwrotną, zaczynając od + 1. W miarę dodawania przejdzie do drugiego członka po odjęciu:
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
Chcemy wartości x, ale znajdujemy wartość 5x. Ponieważ 5 mnoży x, przejdzie na prawą stronę wykonując odwrotną operację mnożenieczyli dzielenie.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
Rozwiązaniem tego równania jest x = - 2.
Przykład 3:
Rozwiązać równanie:
\(5x+4=2x-6\)
Aby rozwiązać to równanie, najpierw umieścimy wyrazy, które mają nieznaną wartość na pierwszym elemencie, oraz wyrazy, które nie mają nieznanego elementu na drugim elemencie. Aby to zrobić, zidentyfikujmy je:
\({\kolor{czerwony}5}{\kolor{czerwony}x}+ 4 = {\kolor{czerwony}2}{\kolor{czerwony}x}\ –\ 6\)
Na czerwono są terminy, które mają nieznane, 5x i 2x, a na czarno, terminy, które nie mają nieznanego. Ponieważ + 4 nie ma niewiadomych, przekażmy je drugiemu członowi, odejmując.
\(\kolor{czerwony}{5x}=\kolor{czerwony}{2x}-6-4\)
Zauważ, że 2x ma nieznaną, ale jest w drugim członku. Przekażemy to pierwszemu członkowi, odejmując 5x:
\({\kolor{czerwony}{5x}-\kolor{czerwony}{2x}=-6-4}\)
\(3x = - 10\)
Teraz, po przejściu przez 3, mamy to:
\(x=-\frac{10}{3}\)
Ważny: Rozwiązaniem równania może być ułamek, jak w powyższym przykładzie.
◆ Lekcja wideo na temat równania I stopnia z niewiadomą
➝ Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
Gdy istnieje równanie pierwszego stopnia, które ma dwie niewiadome, nie ma jednego rozwiązania, ale raczej nieskończone rozwiązania. Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi to równanie typu:
\(ax+by+c=0\)
Aby znaleźć niektóre z nieskończonych rozwiązań równania, przypisujemy wartość jednej z jego zmiennych i znajdujemy wartość drugiej zmiennej.
Przykład:
Znajdź 3 możliwe rozwiązania równania:
\(2x+y+3=0\)
Rezolucja:
Aby znaleźć 3 rozwiązania, wybierzemy pewne wartości dla zmiennej x, zaczynając od x = 1:
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+y+3=0\ \)
\(y+5=0\)
Izolując y w pierwszym elemencie, mamy to:
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
Zatem możliwym rozwiązaniem równania jest x = 1 i y = - 5.
Aby znaleźć jeszcze jedno rozwiązanie równania, przypiszmy nową wartość dowolnej zmiennej. Zrobimy y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
Izolowanie x:
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
Drugie rozwiązanie tego równania to x = - 2 i y = 1.
Wreszcie, aby znaleźć trzecie rozwiązanie, wybierzemy nową wartość dla jednej z Twoich zmiennych. Zrobimy x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+y+3=0\)
\(y+3=0\ \)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
Trzecie rozwiązanie to x = 0 i y = -3.
Możemy przedstawić te trzy rozwiązania jako uporządkowane pary postaci (x, y). Znalezione rozwiązania równania były następujące:
\(\left (1,-5\right);\ \left(-2,\ 1\right);\left (0,-3\right)\)
Ważny: Ponieważ to równanie ma dwie niewiadome, mamy nieskończone rozwiązania. Wartości dla zmiennych zostały wybrane losowo, dzięki czemu mogliśmy przypisać zmiennym inne zupełnie inne wartości i znaleźć trzy inne rozwiązania równania.
Wiedzieć więcej: Równanie II stopnia — jak obliczyć?
Równanie pierwszego stopnia w Enem
Pytania dotyczące równań pierwszego stopnia w Enem wymagają od kandydata umiejętności przekształcić sytuacje problemowe w równanie, używając danych wypowiedzi. Dla jasności zobacz kompetencję Matematyka obszar 5.
Obszar 5 Kompetencje: Modeluj i rozwiązuj problemy dotyczące zmiennych socjoekonomicznych lub techniczno-naukowych, używając reprezentacji algebraicznych.
Zauważ więc, że w Enem oczekuje się, że kandydat potrafi modelować sytuacje problemowe naszego codziennego życia i rozwiązywać je za pomocą równania. W ramach tej kompetencji istnieją dwie konkretne umiejętności związane z równaniami, które Enem stara się ocenić: umiejętność 19 i umiejętność 21.
H19: Zidentyfikuj reprezentacje algebraiczne, które wyrażają związek między wielkościami.
H21: Rozwiąż sytuację problemową, której modelowanie obejmuje wiedzę algebraiczną.
Tak więc, jeśli studiujesz dla Enem, oprócz opanowania rozwiązywania równań pierwszego stopnia, ważne jest, aby trenować w interpretacji problemów dotyczących równania, ponieważ rozwijanie umiejętności modelowania sytuacji problemowych poprzez zapisywanie ich jako równania jest dla Enema tak samo ważne, jak umiejętność rozwiązywania równanie.
Rozwiązane ćwiczenia na równaniu I stopnia
Pytanie 1
(Enem 2012) Krzywe podaży i popytu produktu reprezentują odpowiednio ilości, które sprzedawcy i konsumenci są skłonni sprzedać w zależności od ceny produktu. W niektórych przypadkach krzywe te mogą być reprezentowane przez linie proste. Załóżmy, że wielkości podaży i popytu na produkt są odpowiednio reprezentowane przez równania:
QO = –20 + 4P
QD = 46 - 2P
w którym QO to ilość podaży, QD to ilość popytu, a P to cena produktu.
Z tych równań podaży i popytu ekonomiści znajdują cenę równowagi rynkowej, to znaczy, kiedy QO i QD równy. Jaka jest wartość ceny równowagi w opisanej sytuacji?
a) 5
B) 11
C) 13
D) 23
E) 33
Rezolucja:
Alternatywa B
Aby znaleźć cenę równowagi, po prostu przyrównujemy dwa równania:
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
pytanie 2
(Enem 2010) Trójskok to rodzaj lekkoatletyki, w którym zawodnik skacze na jednej nodze, na jednym kroku i jednym skoku, w tej kolejności. Skok z odskokiem na jednej nodze zostanie wykonany tak, aby zawodnik wylądował jako pierwszy na tej samej stopie, która wystartowała; krok po kroku wyląduje drugą nogą, z której wykonywany jest skok.
Dostępne na: www.cbat.org.br (dostosowane).
Zawodnik wykonujący trójskok, po przestudiowaniu swoich ruchów, zdał sobie sprawę, że od drugiego do przy pierwszym skoku zasięg zmniejszył się o 1,2 m, a od trzeciego do drugiego skoku zasięg zmniejszył się o 1,5 m. Chcąc osiągnąć w tym konkursie cel 17,4 m i biorąc pod uwagę studia, odległość osiągnięta w pierwszym skoku musiałaby być pomiędzy
A) 4,0 mi 5,0 m.
B) 5,0 m i 6,0 m.
C) 6,0 m i 7,0 m.
D) 7,0 m i 8,0 m.
E) 8,0 m i 9,0 m.
Rezolucja:
Alternatywa D
W pierwszym skoku osiąga odległość x metrów.
Na drugim skoku odległość zmniejsza się o 1,2 m od pierwszego skoku, więc osiąga odległość x – 1,2 metra.
Przy trzecim przeskoku odległość zmniejsza się o 1,5 m od drugiego przeskoku, więc dystans pokonany przy trzecim przeskoku wynosi x – 1,2 – 1,5 metra, czyli tyle samo co x – 2,7 metra.
Wiemy, że suma tych odległości musi wynosić 17,4 metra, a więc:
\(x+x-1,2+x-2,7=17,4\)
\(3x-3,9=17,4\)
\(3x=17,4+3,9\)
\(3x=21,3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7.1\)
Tym samym dystans osiągnięty w pierwszym skoku wynosi od 7,0 do 8,0 metrów.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
