Faktoryzacja wielomiany składa się z metod opracowanych w celu przepisania wielomianu jako iloczyn między wielomianami. Napisz wielomian jako mnożenie między dwoma lub więcej czynnikami pomaga w uproszczeniu wyrażeń algebraicznych i zrozumieniu wielomianu.
Istnieją różne przypadki faktoringu, a dla każdego z nich istnieją określone techniki.. Istniejące przypadki to: faktoryzacja przez wspólny czynnik w dowodach, faktoring przez grupowanie, różnica między dwoma kwadratami, idealny trójmian kwadratowy, suma dwóch sześcianów i różnica dwóch sześcianów.
Czytaj więcej:Co to jest wielomian?
Podsumowanie faktoryzacji wielomianów
Faktoryzacja wielomianów to techniki stosowane do przedstawiania wielomianu jako iloczynu między wielomianami.
Używamy tego rozkładu na czynniki, aby uprościć wyrażenia algebraiczne.
-
Sprawy faktoringowe to:
Faktoring według wspólnego czynnika dowodowego;
Faktoring przez grupowanie;
idealny trójmian kwadratowy;
różnica dwóch kwadratów;
suma dwóch kostek;
Różnica dwóch kostek.
Przypadki faktoringu wielomianowego
Aby rozłożyć wielomian, należy przeanalizować, w którym z przypadków faktoringowych sytuacja pasuje, będący: faktoringiem przez wspólny czynnik w dowodach, faktoringiem przez grupowanie, różnica między dwoma kwadratami, perfekcyjny trójmian kwadratowy, suma dwóch sześcianów i różnica dwóch sześcianów. Zobaczmy, jak przeprowadzić rozkład na czynniki w każdym z nich.
Wspólny czynnik dowodowy
Stosujemy tę metodę faktoryzacji, gdy istnieje czynnik wspólny dla wszystkich wyrazów wielomianu. Ten wspólny czynnik zostanie wyróżniony jako jeden czynnik, a drugi czynnik, wynik dział terminów przez ten wspólny czynnik zostanie umieszczony w nawiasach.
Przykład 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Analizując każdy wyraz tego wielomianu, można zobaczyć, że x powtarza się we wszystkich wyrazach. Ponadto wszystkie współczynniki (20, 12 i 8) są wielokrotnościami 4, więc czynnik wspólny dla wszystkich składników wynosi 4x.
Dzieląc każdy termin przez wspólny czynnik, mamy:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Teraz napiszemy rozkład na czynniki, umieszczając wspólny czynnik w dowodach, a suma z wyników znalezionych w nawiasach:
4x (5 lat + 3x + 2 lata²)
Przykład 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Analizując dosłowną część każdego terminu, można zauważyć, że a²b powtarza się we wszystkich. Zauważ, że nie ma liczby, która dzieli 2, 3 i – 4 jednocześnie. Czyli wspólnym czynnikiem będzie tylko a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4.5b³: a²b = 4a³
Zatem faktoryzacja tego wielomianu będzie wynosić:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Zobacz też: Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów — zrozum, jak to się robi
grupowanie
Ta metoda to używane, gdy nie ma wspólnego dzielnika dla wszystkich wyrazów wielomianu. W tym przypadku identyfikujemy terminy, które można pogrupować, mając wspólny czynnik, i wyróżniamy je.
Przykład:
Rozkład na czynniki następujący wielomian:
topór + 4b + bx + 4a
Pogrupujemy terminy, które mają a i b jako wspólny czynnik:
topór + 4a + bx + 4b
Umieszczając a i b jako dwa na dwa, mamy:
a(x+4)+b(x+4)
Zauważ, że w nawiasach współczynniki są takie same, więc możemy przepisać ten wielomian jako:
(a + b) (x + 4)
idealny trójmian kwadratowy
Trójmiany to wielomiany z 3 wyrazami. Wielomian jest znany jako doskonały trójmian kwadratowy, gdy jest suma do kwadratu lub różnica do kwadratu wynik, to jest:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Ważny: Nie za każdym razem, gdy istnieją trzy wyrazy, ten wielomian będzie idealnym trójmianem kwadratowym. Dlatego przed przeprowadzeniem faktoryzacji należy zweryfikować, czy trójmian pasuje w tym przypadku.
Przykład:
Współczynnik, jeśli to możliwe, wielomian
x² + 10x + 25
Po przeanalizowaniu tego trójmianu wyodrębnimy pierwiastek kwadratowy pierwszy i ostatni semestr:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Ważne jest, aby sprawdzić, czy składnik centralny, czyli 10x, jest równy \(2\cdot\ x\cdot5\). Zwróć uwagę, że rzeczywiście jest tak samo. To jest idealny trójmian kwadratowy, który można rozłożyć na czynniki przez:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
różnica dwóch kwadratów
Kiedy mamy różnicę dwóch kwadratów, możemy rozłożyć ten wielomian na czynniki, przepisując go jako iloczyn sumy i różnicy.
Przykład:
Rozkład wielomianu na czynniki:
4x² – 36lat²
Najpierw obliczymy pierwiastek kwadratowy każdego z jego wyrażeń:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Teraz przepiszemy ten wielomian jako iloczyn sumy i różnicy znalezionych pierwiastków:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Przeczytaj też: Obliczenia algebraiczne z użyciem jednomianów — dowiedz się, jak przebiegają te cztery operacje
suma dwóch kostek
Suma dwóch sześcianów, czyli a³ + b³, można rozłożyć jako:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Przykład:
Rozkład wielomianu na czynniki:
x³ + 8
Wiemy, że 8 = 2³, więc:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Różnica dwóch kostek
Różnica dwóch sześcianów, czyli a³ – b³, podobnie jak suma dwóch sześcianów, może być rozłożony jako:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Przykład:
Wydziel wielomian
8x³ - 27
Wiemy to:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Więc musimy:
\(8x^3-27=\lewo (2x-3\prawo)\)
\(8x^3-27=\lewo (2x-3\prawo)\lewo (4x^2+6x+9\prawo)\)
Rozwiązane ćwiczenia z rozkładania na czynniki wielomianów
Pytanie 1
Korzystanie z faktoryzacji wielomianowej do uproszczenia wyrażenia algebraicznego \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), My znajdziemy:
a) x + 2
B) x - 2
C) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Rezolucja:
Alternatywa D
Patrząc na licznik, widzimy, że x² + 4x + 4 jest przypadkiem idealnego trójmianu kwadratowego i można go przepisać jako:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Licznik x² – 4 jest różnicą dwóch kwadratów i można go przepisać jako:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
W związku z tym:
\(\frac{\left (x+2\right)^2}{\left (x+2\right)\left (x-2\right)}\)
Zwróć uwagę, że termin x + 2 występuje zarówno w liczniku, jak i mianowniku, więc jego uproszczenie wyraża się wzorem:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
pytanie 2
(Unifil Institute) Biorąc pod uwagę, że dwie liczby, x i y, są takie, że x + y = 9 oraz x² – y² = 27, wartość x jest równa:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Rezolucja:
Alternatywa C
Zauważ, że x² – y² to różnica między dwoma kwadratami i może być rozłożona jako iloczyn sumy i różnicy:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Wiemy, że x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
Wtedy możemy założyć układ równań:
Dodanie dwóch linii:
2x + 0 r = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm