Stosunki trygonometryczne: sinus, cosinus i tangens to relacje między bokami trójkąta prostokątnego. Za pomocą tych przeliczeń można wyznaczyć nieznane wartości kątów i wymiarów bocznych.
Ćwicz swoją wiedzę z rozwiązanymi problemami.
pytania o sinus
Pytanie 1
będąc kątem równy 30° i przeciwprostokątnej 47 m, oblicz pomiar wysokości ten trójkąta.
Trygonometryczny stosunek sinus jest ilorazem miar przeciwnej strony kąta i przeciwprostokątnej.
Izolacyjny ten z jednej strony równości mamy:
Z tabeli trygonometrycznej mamy, że sinus 30° jest równy , zastępując w równaniu:
Dlatego wysokość trójkąta wynosi 23,50 m.
pytanie 2
Widok z góry na park pokazuje dwie ścieżki prowadzące do punktu C z punktu A. Jedną z opcji jest udanie się do B, gdzie znajdują się fontanny do picia i miejsca odpoczynku, a następnie do C. Jeśli gość odwiedzający park chce iść prosto do punktu C, ile metrów pokona mniej niż w przypadku pierwszej opcji?
Rozważ przybliżenia:
grzech 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
opalenizna 58 ° = 1,60
Odpowiedź: wychodząc z A i idąc prosto do C, spacer jest o 7,54 m krótszy.
Krok 1: oblicz odległość.
Krok 2: określ odległość!.
Krok 3: określ odległość .
Krok 4: Określ różnicę między dwiema ścieżkami.
pytanie 3
Zainstalowano kolejkę linową łączącą bazę ze szczytem góry. Do instalacji wykorzystano 1358 m kabli ułożonych pod kątem 30° w stosunku do podłoża. Jak wysoka jest góra?
Prawidłowa odpowiedź: wysokość góry to 679 m.
Do określenia wysokości góry możemy użyć sinusoidalnego współczynnika trygonometrycznego.
Z tabeli trygonometrycznej mamy sin 30° = 0,5. Ponieważ sinus jest stosunkiem przeciwnej strony do przeciwprostokątnej, określamy wysokość.
pytanie 4
(CBM-SC, żołnierz-2010) Aby pomóc osobie w mieszkaniu podczas pożaru, strażacy użyje drabiny o długości 30m, która zostanie umieszczona tak, jak pokazano na poniższym rysunku, tworząc kąt z podłożem z 60. Jak daleko jest mieszkanie od podłogi? (Użyj sen60º=0,87; cos60º=0,5 i tg60º= 1,73)
a) 15m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.
Prawidłowa odpowiedź: b) 26,1 m.
Aby określić wysokość, użyjemy sinusa 60°. Wywołanie wysokości h i użycie sinusa 60° równego 0,87.
Pytania dotyczące cosinusa
pytanie 5
Cosinus to stosunek między bokiem przylegającym do kąta a pomiarem przeciwprostokątnej. Istnienie równy 45°, obliczyć miarę nogi przylegającej do kąta alfa, w trójkącie figury.
rozważać
Przybliżenie wartości pierwiastka kwadratowego z 2:
Miara sąsiedniej nogi wynosi około 19,74 m.
pytanie 6
Podczas meczu piłkarskiego gracz 1 rzuca do gracza 2 pod kątem 48°. Jak daleko musi przebyć piłka, aby dotrzeć do gracza 2?
Rozważać:
grzech 48° = 0,74
cos 48 ° = 0,66
opalenizna 48° = 1,11
Prawidłowa odpowiedź: piłka musi przebyć odległość 54,54 m.
Miarą między graczem 1 a graczem 2 jest przeciwprostokątna prawego trójkąta.
Cosinus kąta 48° to stosunek jego sąsiedniego boku do przeciwprostokątnej, gdzie sąsiedni bok to odległość między środkiem pola a dużym polem.
52,5 - 16,5 = 36 m²
Obliczanie cosinusa, gdzie h jest przeciwprostokątną.
pytanie 7
Dach jest uważany za dwuspadowy, gdy występują dwa zbocza. W jednej pracy budowany jest dach w miejscu, gdzie spotykają się jego dwie wody dokładnie pośrodku płyty. Kąt nachylenia każdej wody w stosunku do płyty wynosi 30°. Płyta ma długość 24 m. Aby zamówić płytki jeszcze przed ukończeniem konstrukcji, która będzie podtrzymywała dach, konieczne jest poznanie długości każdej wody, która wyniesie:
Ponieważ płyta ma długość 24 m, każda woda będzie miała 12 m.
Nazywając długość każdego dachu wodą L, mamy:
Racjonalizacja ułamka w celu uzyskania liczby niewymiernej mianownika.
Zrobienie,
W związku z tym długość każdego dachu wody będzie wynosić około 13,6 m.
pytanie 8
Styczna to stosunek między stroną przeciwną do kąta a jej sąsiednim bokiem. będąc kątem równy 60°, obliczyć wysokość trójkąta.
Pytania styczne
pytanie 9
Człowiek chce poznać szerokość rzeki przed jej przekroczeniem. W tym celu ustawia punkt odniesienia na drugiej krawędzi, jak na przykład drzewo (punkt C). W pozycji, w której się znajdujesz (punkt B), idź 10 metrów w lewo, aż między punktem A a punktem C utworzy się kąt 30°. Oblicz szerokość rzeki.
rozważać .
Aby obliczyć szerokość rzeki, którą nazwiemy L, użyjemy tangensa kąta .
pytanie 10
(Enem 2020) Pergolado to nazwa nadana rodzajowi dachu zaprojektowanego przez architektów, zwykle w kwadratach i
ogrody, aby stworzyć środowisko dla ludzi lub roślin, w którym następuje spadek ilości światła,
w zależności od położenia słońca. Wykonany jest jako paleta równych belek, ułożonych równolegle i idealnie
z rzędu, jak pokazano na rysunku.
Architekt projektuje pergolę o rozstawie 30 cm między belkami, tak aby w
przesilenia letniego, trajektoria słońca w ciągu dnia odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku
promienie i że popołudniowe słońce, gdy jego promienie kierują się pod kątem 30° w pozycji szpilki, generują połowę
światła, które przechodzi w pergoli w południe.
Aby spełnić propozycję projektu przygotowaną przez architekta, belki pergoli muszą być:
skonstruowana tak, aby wysokość w centymetrach była jak najbardziej zbliżona do
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Prawidłowa odpowiedź: c) 26.
Aby zrozumieć sytuację, zróbmy zarys.
Obraz po lewej pokazuje padanie światła słonecznego w południe, ze 100%. Obraz po lewej stronie nas interesuje. Przepuszcza tylko 50% promieni słonecznych przez pergolę przy 30% nachyleniu.
Używamy stosunku trygonometrycznego tangensa. Tangens kąta to stosunek strony przeciwnej do sąsiedniej.
Wywołując wysokość kawałka pergoli h, mamy:
Tworzenie stycznej 30° =
Zracjonalizujmy ostatni ułamek tak, aby w mianowniku nie pozostawić pierwiastka z liczby trzy, niewymiernej.
Zrobienie,
Spośród opcji dostępnych w pytaniu najbliższa jest litera c, wysokość belek musi wynosić około 26 cm.
pytanie 11
(Enem 2010) Balon atmosferyczny, wystrzelony nocą w Bauru (343 kilometry na północny zachód od São Paulo) w ostatnią niedzielę spadł w poniedziałek w Cuiabá Paulista, w regionie Presidente Prudente, straszenie
rolnicy w regionie. Artefakt jest częścią programu Hibiscus Project, opracowanego przez Brazylię, Francję,
Argentyna, Anglia i Włochy, aby zmierzyć zachowanie warstwy ozonowej i nastąpiło jej opadanie
po spełnieniu oczekiwanego czasu pomiaru.
W dniu imprezy balon obejrzały dwie osoby. Jeden znajdował się 1,8 km od pionowej pozycji balonu
i zobaczyłem go pod kątem 60°; drugi znajdował się 5,5 km od pionowej pozycji balonu, w jednej linii z
najpierw i w tym samym kierunku, jak widać na rysunku, i widziałem go pod kątem 30°.
Jaka jest przybliżona wysokość balonu?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Prawidłowa odpowiedź: c) 3,1 km
Używamy tangensa 60°, który jest równy . Tangens jest stosunkiem trygonometrycznym między przeciwną stroną kąta a sąsiednią.
Dlatego wysokość balonu wynosiła około 3,1 km.
