Wyobraź sobie, że bawisz się kulkami, tworząc trójkąty. Możesz najpierw rozważyć, że piłka jest jak mały trójkąt:
•
Następnie umieszczasz pod nimi dwie kulki i tworzysz trzy wierzchołki a trójkąt:
•
• •
Jeśli umieścisz pod nimi kolejne trzy kule, utworzą one kolejny trójkąt:
•
• •
• • •
Na każdym etapie dodawania kulek w stosunku do wcześniej ułożonej ilości, zawsze nastąpi uformowanie się trójkątów. Zobacz trójkąt utworzony przez dodanie czterech kolejnych kul:
•
• •
• • •
• • • •
Całkowita liczba kulek w każdym kroku charakteryzuje klasę liczb zwaną liczby trójkątne. Matematyk Karl Friedrich Gauss odkrył wzór wskazujący całkowitą ilość w każdym trójkącie, gdzie s1odpowiadał pierwszemu trójkątowi, s2, do drugiego trójkąta i tak dalej. Sumy opisane przez Gaussa zaczynały się od a oraz, na każdym etapie dodawany był numer, który odpowiadał jednej jednostce powyżej ostatniej dodanej liczby:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Wynikiem tych sum były liczby trójkątne: 1, 3, 6, 10, 15... Zauważ, że w każdej z tych sum istnieje wzór. Przyglądając się uważnie, widzimy, że każdy z nich jest
postęp arytmetyczny powodu 1. Więc tutaj jest suma Gaussa, z którego wynika, że w stałej sumie proporcji, jeśli dodamy pierwszy element do ostatniego, otrzymamy taki sam wynik, jak dodanie drugiego elementu do przedostatniego. Zobaczmy, jak przebiega proces sumy Gaussa dla sum. s6 oraz s7:
Proces sumy Gaussa zastosowany do sumy liczb trójkątnych
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
jeśli przestań s6 oraz s7 mamy sumy z powyższego obrazka, odtwórzmy tę sumę dla s8, S9, S10 oraz s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Możemy uogólnić, aby uzyskać sumę za snie:
snie = n. (n+1), jeśli n jest parzyste
2
snie = (n - 1).(n+1) + (n-1) + 1, jeśli n jest nieparzyste
2 2
tak jak w liczba magiczna, możemy pokazać inny ciekawy fakt dotyczący liczb trójkątnych: sumę kolejnych liczb trójkątnych zawsze daje liczby, które można sklasyfikować jako idealne kwadraty, to znaczy liczby, które mają pierwiastek kwadrat. Zobaczmy:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Otrzymane wyniki 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 i 121 są idealnymi kwadratami.
przez Amandę Gonçalves
Ukończył matematykę
Czy chciałbyś odnieść się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Wyglądać:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. „Liczby trójkątne”; Brazylia Szkoła. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Dostęp 27 lipca 2021 r.
