O Trójkąt Pascala to dość stare narzędzie matematyczne. Na przestrzeni dziejów otrzymał kilka nazw, ale najbardziej przyjęte dzisiaj to trójkąt arytmetyczny i trójkąt Pascala. Drugie imię to hołd dla matematyka, który wniósł kilka wkładów w badanie tego trójkąta. oznacza, że trójkąt został wymyślony przez niego, ale to on dokładniej to zbadał narzędzie.
Z właściwości trójkąta Pascala można go logicznie skonstruować. Wyróżnia się również Twoim związek z kombinacje studiował w analizie kombinatorycznej. Terminy trójkąta Pascala odpowiadają również współczynnikom dwumianu i dlatego jest bardzo przydatny do obliczania dowolnego dwumianu Newtona.
Przeczytaj też: Urządzenie Briota-Ruffini - metoda dzielenia wielomianów
Budowa trójkąta Pascala
Trójkąt Pascala powstaje z wyniku kombinacji, jednak istnieje praktyczna metoda, która ułatwia jej budowę. Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są liczone jako zero wiersza i zero kolumny. Możemy użyć tyle linii ile potrzeba w tej konstrukcji, zatem trójkąt może mieć nieskończone linie. Rozumowanie opracowania linii jest zawsze takie samo. Wyglądać:
Wiemy to terminy trójkątne są kombinacjami, studiował w analiza kombinatoryczna. Aby zastąpić trójkąt Pascala wartościami liczbowymi, wiemy, że kombinacje liczby z zerem i liczby z samą sobą są zawsze równe 1. Dlatego pierwsza i ostatnia wartość to zawsze 1.
Aby znaleźć inne, zaczynamy od wiersza 2, ponieważ wiersz 0 i wiersz 1 są już kompletne. W wierszu 2, aby znaleźć kombinację 2 do 1, w wierszu powyżej, czyli w wierszu 1, dodajmy termin nad nim w tej samej kolumnie i termin nad nim w poprzedniej kolumnie, jak pokazano na obrazku :
Po zbudowaniu linii 2 możliwe jest zbudowanie linii 3 wykonując tę samą procedurę.
Kontynuując tę procedurę, znajdziemy wszystkie terminy – w tym przypadku do linii 5 – ale możliwe jest zbudowanie tylu linii, ile potrzeba.
Właściwości trójkąta Pascala
Tam jest trochę własności trójkąta Pascala, ze względu na regularność w jego budowie. Te właściwości są przydatne podczas pracy z kombinacjami, samej konstrukcji linii trójkątów oraz sumy linii, kolumn i przekątnych.
1. nieruchomość
Pierwszą własnością była ta, której użyliśmy do zbudowania trójkąta. Więc do znajdź termin w trójkącie Pascala, po prostu dodaj termin znajdujący się w wierszu powyżej i tę samą kolumnę z terminem znajdującym się w kolumnie i wierszu przed nim. Ta właściwość może być reprezentowana w następujący sposób:
Ta właściwość jest znana jako Związek Stifel i ważne jest, aby ułatwić budowę trójkąta i znaleźć wartości każdej z linii.
2. nieruchomość
Suma wszystkich terminów z rzędu jest obliczana według wzoru:
snie=2nie, na czym? nie to numer wiersza.
Przykłady:
Dzięki tej właściwości można poznać suma wszystkich warunków w wierszu bez konieczności konstruowania trójkąta Pascala. Na przykład sumę linii 10 można obliczyć przez 210 = 1024. Chociaż nie wszystkie terminy są znane, już teraz można poznać sumaryczną wartość całej linii.
trzecia własność
Suma terminów, które następują po sobie od początku danej kolumny dla do pewnej linii nie jest taki sam jak termin na linii n+1 plecy i kolumna p+1 później, jak pokazano poniżej:
4. nieruchomość
Suma przekątnej, która zaczyna się w kolumnie 0 i przechodzi do terminu w kolumnie p i wierszu n, jest równa terminowi w tej samej kolumnie (p), ale w wierszu poniżej (n+1), jak pokazano na obrazku :
5. nieruchomość
W liniach trójkąta Pascala jest symetria. Pierwszy i drugi wyraz są sobie równe, drugi i przedostatni wyraz są sobie równe i tak dalej.
Przykład:
Linia 6: 1615 20 156 1.
Zauważ, że terminy są równe dwa do dwóch, z wyjątkiem terminu centralnego.
Zobacz też: Dzielenie wielomianowe: jak to rozwiązać?
Dwumian Newtona
Definiujemy dwumian Newtona a moc jednego wielomian który ma dwa terminy. Obliczanie dwumianu jest powiązane z trójkątem Pascala, który staje się mechanizmem obliczania tego, co nazywamy współczynnikami dwumianowymi. Aby obliczyć dwumian, używamy następującego wzoru:
Zauważ, że wartość wykładnika ten maleje, aż w ostatnim semestrze wyniesie ten0. Wiemy, że każda liczba podniesiona do 0 jest równa 1, stąd termin ten nie pojawia się w ostatnim semestrze. Zauważ też, że wykładnik b Zaczyna się z b0, wkrótce b nie pojawia się w pierwszym terminie i wzrasta aż do osiągnięcia bnie, w ostatnim semestrze.
Ponadto liczba, która towarzyszy każdemu z terminów, nazywamy współczynnikiem – w tym przypadku znanym jako współczynnik dwumianowy. Aby lepiej zrozumieć, jak rozwiązać ten typ dwumianu, zapoznaj się z naszym tekstem: Dwumian Newtona.
współczynnik dwumianowy
Współczynnik dwumianowy to nic innego jak kombinacja, którą można obliczyć za pomocą wzoru:
Jednak, aby ułatwić obliczenie dwumianu Newtona, konieczne jest użycie trójkąta Pascala, ponieważ daje nam on szybciej wynik kombinacji.
Przykład:
Aby znaleźć wynik współczynnika dwumianowego, znajdźmy wartości rzędu 5 trójkąta Pascala, które wynoszą {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3tak2+ 10x2tak3 + 5xy4+1 rok5
Mówiąc prosto:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3tak2+ 10x2tak3 + 5xy4+y5
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Wartość poniższego wyrażenia to?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Rezolucja
Alternatywa A.
Przegrupowując wartości dodatnie i ujemne, musimy:
Zauważ, że w rzeczywistości obliczamy odejmowanie między linią 4 i linią 3 trójkąta Pascala. Według właściwości wiemy, że:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Pytanie 2 - Jaką wartość ma poniższe wyrażenie?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Rezolucja
Alternatywa B.
Zauważ, że dodajemy wyrazy z pierwszej kolumny trójkąta Pascala do wiersza 7, a następnie do trzeciego właściwość, wartość tej sumy jest równa wyrazowi, który zajmuje wiersz 7+1 i kolumnę 1+1, czyli wiersz 8, kolumna 2. Ponieważ chcemy tylko jednej wartości, konstruowanie całego trójkąta Pascala nie jest wygodne.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm
