Permutacja to technika liczenia używana do określenia, na ile sposobów można uporządkować elementy zbioru skończonego. Dokonanie wymiany to dokonanie wymiany, aw problemach kombinatoryki oznacza wymianę elementów miejsca z uwzględnieniem ich kolejności.
Techniki te są częścią dziedziny matematyki zwanej analizą kombinatoryczną, która ma na celu poznanie i zliczenie różnych sposobów organizowania zbiorów i ich elementów. Prosta permutacja i powtarzające się elementy rozwiązują tę kategorię problemów.
prosta permutacja
Permutacją prostą jest uporządkowanie elementów zbioru skończonego, gdy ich elementy się nie powtarzają, są różne. Służy do określenia ilości tego rodzaju.
Ilość permutacji zbioru n elementów równa się n! (czyta n silni).
Wzór na określenie liczby prostych permutacji to
Rozważmy zestaw składający się z n elementów. Aby ustawić je w kolejce, musimy wybrać pierwszą, a do tego mamy n możliwości. Aby wybrać drugą, mamy (n-1) możliwości, o jedną mniej, bo już skorzystaliśmy z opcji przy wyborze pierwszej. Ten proces trwa, dopóki nie pozostanie tylko jeden element.
Aby określić całkowitą liczbę permutacji, mnożymy liczbę możliwości, które istnieją przy wyborze każdego elementu. A zatem:
Powyższe wyrażenie nazywa się silnią n i używamy symbolu Nie!.
dowiedz się więcej o Factorial tutaj.
Przykład:
Różne sposoby organizowania liter słowa nazywane są anagramami. Ile anagramów zawiera słowo KACZKA?
Oto możliwości:
Skoro więc słowo PATO składa się z 4 liter, musimy
Tak więc istnieją 24 proste permutacje słowa KACZKA.
Proste ćwiczenia permutacyjne
Pytanie 1
Oblicz wartość .
pytanie 2
Weźmy pod uwagę kolejkę osób „kto pierwszy, ten lepszy”, w której w danym momencie jest sześć osób. Na ile różnych sposobów można uszeregować tych ludzi od pierwszego do ostatniego?
Każdy formularz zamówienia jest prostą permutacją, ponieważ jednostki są wyjątkowe i nie powtarzają się. Tak więc przy sześciu osobach odpowiedzią jest permutacja z 6 elementami.
pytanie 3
Zastanów się nad słowem FORK i odpowiedz na następujące pytania?
a) Ile jest anagramów słowa FORK?
Ponieważ litery się nie powtarzają, jest to prosty przypadek permutacji 5-elementowej.
b) Ile anagramów zaczyna się na literę A?
W tym przypadku ustalamy literę A na początku i obliczamy permutacje literami GRFO, które są permutacjami 4 elementów.
1 możliwość na literę A x .
c) Ile jest anagramów, jeśli samogłoski są zawsze obok siebie?
Jedną z możliwości byłoby G R F A O.
Istnieją trzy sposoby porządkowania spółgłosek. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Są dwa sposoby na uporządkowanie samogłosek. P2 = 2 x 1 = 2
Są jeszcze dwa sposoby na zorganizowanie grup (spółgłosek i samogłosek) między sobą. P2 = 2 x 1 = 2
Teraz pomnóż wyniki.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Mamy więc 24 anagramy, w których samogłoski są zawsze razem.
Permutacja z powtórzeniem
Permutacja z powtarzającymi się elementami ma miejsce, gdy w zestawie n elementów niektóre z nich są równe.
We wzorze na określenie liczby permutacji z powtórzeniami dzielimy silnię całkowitej liczby n elementów przez iloczyn silni powtarzających się elementów.
to liczba permutacji n elementów.
jest to liczba elementów każdego typu, które się powtarzają.
jest silnią całkowitej liczby elementów n.
Przykłady
Ustalmy, ile jest permutacji słowa EGG. Aby było łatwiej, pokolorujmy litery. Spójrzmy na anagramy słowa EGG.
Liczba prostych permutacji z 3 elementami jest dana wzorem
Jednak niektóre permutacje się powtarzają i nie możemy ich policzyć dwukrotnie. W tym celu musimy podzielić wartość (ponieważ słowo ma trzy litery), przez
(ponieważ litera O powtarza się dwukrotnie).
Tak więc liczba permutacji dla liter słowa OVO jest równa 3.
Spójrzmy na ten inny przykład, w którym zdefiniujemy liczbę permutacji dla liter słowa BANANA.
Gdzie:
oznacza permutację z 6 elementami, w której powtarzają się litery A i N.
3! bo litera A powtarza się trzy razy.
2! dla litery N powtarza się dwukrotnie.
Wskazówka, aby ułatwić obliczenia, to opracowanie 6! aż osiągniesz 3!, upraszczając z mianownikiem. Zobacz rozwój.
Tak więc liczba permutacji liter w słowie BANANA jest równa 60.
Być może interesują Cię te treści dotyczące analizy kombinatorycznej:
Analiza kombinatoryczna
Ćwiczenia z analizy kombinatorycznej
