Płaski obszar figury reprezentuje zakres przedłużenia figury w płaszczyźnie. Jako figury płaskie możemy wymienić między innymi trójkąt, prostokąt, romb, trapez, koło.
Skorzystaj z poniższych pytań, aby sprawdzić swoją wiedzę na ten ważny temat geometrii.
Rozwiązane problemy z konkursem
Pytanie 1
(Cefet/MG - 2016) Kwadratową powierzchnię terenu należy podzielić na cztery równe części, również kwadratowe, oraz w jednym z nich musi być utrzymywany rodzimy rezerwat leśny (obszar zakreskowany), jak pokazano na rysunku a podążać.
Wiedząc, że B jest środkiem odcinka AE, a C jest środkiem odcinka EF, obszarem zakreskowanym, w m2, daj mi
a) 625,0.
b) 925.5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Prawidłowa alternatywa: c) 1562.5.
Obserwując rysunek, zauważamy, że zakreskowany obszar odpowiada powierzchni kwadratu o boku 50 m minus obszar trójkątów BEC i CFD.
Wymiar boku BE, trójkąta BEC, wynosi 25 m, ponieważ punkt B dzieli bok na dwa przystające odcinki (punkt środkowy odcinka).
To samo dzieje się z bokami EC i CF, to znaczy, że ich wymiary również są równe 25 m, ponieważ punkt C jest środkiem odcinka EF.
W ten sposób możemy obliczyć obszar trójkątów BEC i CFD. Biorąc pod uwagę dwa boki zwane podstawą, druga strona będzie równa wysokości, ponieważ trójkąty są prostokątami.
Obliczając powierzchnię kwadratu i trójkątów BEC i CFD mamy:
Dlatego zakreskowany obszar w m2, środki 1562,5.
pytanie 2
(Cefet/RJ - 2017) Kwadrat o boku x i trójkąt równoboczny o boku y mają pola tej samej miary. Można więc powiedzieć, że stosunek x/y jest równy:
Prawidłowa alternatywa: .
Informacja podana w zadaniu jest taka, że obszary są takie same, czyli:
Obszar trójkąta znajduje się, mnożąc pomiar podstawowy przez pomiar wysokości i dzieląc wynik przez 2. Ponieważ trójkąt jest równoboczny, a bok równy y, jego wysokość jest wyrażona wzorem:
Można więc powiedzieć, że stosunek x/y jest równy .
pytanie 3
(IFSP – 2016) Plac publiczny w kształcie koła ma promień 18 metrów. W świetle powyższego zaznacz alternatywę prezentującą Twoją okolicę.
a) 1017,36 m²2
b) 1254,98 m²2
c) 1589,77 m²2
d) 1698,44 m²2
e) 1710,34 m²2
Prawidłowa alternatywa: a) 1 017, 36 m2.
Aby znaleźć powierzchnię kwadratu, musimy użyć wzoru na powierzchnię koła:
A = π.R2
Podstawiając wartość promienia i biorąc pod uwagę π = 3,14, otrzymujemy:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 m2
W związku z tym powierzchnia kwadratowa wynosi 1 017, 36 m²2.
pytanie 4
(MSSF - 2016) Prostokąt ma wymiary x i y, które wyrażają równania x2 = 12 i (r - 1)2 = 3.
Obwód i powierzchnia tego prostokąta to odpowiednio
a) 6√3 + 2 i 2 + 6√3
b) 6√3 i 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 i 12
d) 6 i 2√3
e) 6√3 + 2 i 2√3 + 6
Prawidłowa alternatywa: e) 6√3 + 2 i 2√3 + 6.
Najpierw rozwiążmy równania, aby znaleźć wartości x i y:
x2= 12 ⇒ x = √12 = √4,3 = 2√3
(y-1) 2= 3 ⇒ y = √ 3 + 1
Obwód prostokąta będzie równy sumie wszystkich boków:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Aby znaleźć obszar, po prostu pomnóż x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Dlatego obwód i powierzchnia prostokąta to odpowiednio 6√3 + 2 i 2√3 + 6.
pytanie 5
(Uczeń Żeglarza - 2016) Przeanalizuj następujący rysunek:
Wiedząc, że EP jest promieniem środkowego półokręgu w E, jak pokazano na powyższym rysunku, określ wartość najciemniejszego obszaru i zaznacz poprawną opcję. Dane: liczba π=3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Prawidłowa alternatywa: b) 12 cm2.
Najciemniejszy obszar znajduje się przez dodanie obszaru półobwodu do obszaru trójkąta ABD. Zacznijmy od obliczenia pola trójkąta, w tym celu zauważ, że trójkąt jest prostokątem.
Nazwijmy stronę AD x i obliczmy jej miarę za pomocą twierdzenia Pitagorasa, jak wskazano poniżej:
52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Znając miarę boczną AD, możemy obliczyć pole trójkąta:
Musimy jeszcze obliczyć powierzchnię półobwodu. Zauważ, że jego promień będzie równy połowie miary po stronie AD, więc r = 2 cm. Powierzchnia półobwodu będzie równa:
Najciemniejszy obszar znajdziesz wykonując: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Dlatego wartość najciemniejszego obszaru wynosi 12 cm2.
pytanie 6
(Enem - 2016) Mężczyzna, ojciec dwójki dzieci, chce kupić dwie działki o tej samej powierzchni, po jednej na każde dziecko. Jedna z odwiedzanych krain jest już wytyczona i chociaż nie ma konwencjonalnego formatu (jak pokazano na rysunku B), zadowoliła najstarszego syna i dlatego została zakupiona. Najmłodszy syn ma projekt architektoniczny domu, który chce zbudować, ale do tego potrzebuje terenu w kształcie prostokąta (jak pokazano na rysunku A), którego długość jest o 7 m dłuższa niż szerokość.
Aby zadowolić najmłodszego syna, ten dżentelmen musi znaleźć prostokątny kawałek ziemi, którego wymiary w metrach, długości i szerokości są odpowiednio równe
a) 7,5 i 14,5
b) 9,0 i 16,0
c) 9,3 i 16,3
d) 10,0 i 17,0
e) 13,5 i 20,5
Prawidłowa alternatywa: b) 9,0 i 16,0.
Ponieważ powierzchnia figury A jest równa powierzchni figury B, najpierw obliczmy ten obszar. W tym celu podzielmy rysunek B, jak pokazano na poniższym obrazku:
Zwróć uwagę, że dzieląc figurę, mamy dwa trójkąty po prawej stronie. Dlatego powierzchnia figury B będzie równa sumie powierzchni tych trójkątów. Obliczając te obszary, mamy:
Ponieważ figura A jest prostokątem, jej pole można znaleźć wykonując:
TENTEN = x. (x + 7) = x2 + 7x
Porównując obszar figury A z wartością znalezioną dla obszaru figury B, znajdujemy:
x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0
Rozwiążmy równanie drugiego stopnia za pomocą wzoru Bhaskary:
Ponieważ miara nie może być ujemna, rozważmy po prostu wartość równą 9. Zatem szerokość terenu na rysunku A będzie równa 9 m, a długość 16 m (9+7).
Dlatego pomiary długości i szerokości muszą wynosić odpowiednio 9,0 i 16,0.
pytanie 7
(Enem - 2015) Firma telefonii komórkowej ma dwie anteny, które zostaną zastąpione nową, mocniejszą. Obszary pokrycia anten, które zostaną wymienione, to okręgi o promieniu 2 km, których obwody są styczne do punktu O, jak pokazano na rysunku.
Punkt O wskazuje pozycję nowej anteny, a jej obszar pokrycia będzie kołem, którego obwód będzie zewnętrznie styczny z obwodami mniejszych obszarów pokrycia. Wraz z instalacją nowej anteny rozszerzono pomiar zasięgu w kilometrach kwadratowych o
a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π
Prawidłowa alternatywa: a) 8 π.
Powiększenie pomiaru obszaru pokrycia zostanie znalezione poprzez zmniejszenie obszarów mniejszych okręgów większego okręgu (w odniesieniu do nowej anteny).
Ponieważ obwód nowego obszaru pokrycia zewnętrznie styka się z mniejszymi obwodami, jego promień będzie równy 4 km, jak pokazano na poniższym rysunku:
Obliczmy powierzchnie A1 i2 mniejszych okręgów i obszaru A3 z większego kręgu:
TEN1 = A2 = 22. π = 4 π
TEN3 = 42.π = 16 π
Pomiar powiększonego obszaru można znaleźć wykonując:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Dlatego wraz z instalacją nowej anteny, miara zasięgu w kilometrach kwadratowych została zwiększona o 8 π.
pytanie 8
(Enem - 2015) Schemat I przedstawia konfigurację boiska do koszykówki. Szare trapezy, zwane gąsiorami, odpowiadają obszarom o ograniczonym dostępie.
Dążąc do spełnienia wytycznych Komitetu Centralnego Międzynarodowej Federacji Koszykówki (Fiba) w 2010 r., który ujednolicił oznaczenia różnych stopów przewidziano modyfikację butli w sądach, które stały się prostokątami, jak pokazano na schemacie II.
Po przeprowadzeniu planowanych zmian nastąpiła zmiana powierzchni zajmowanej przez każdą gąsior, co odpowiada a)
a) wzrost 5800 cm2.
b) 75 400 cm wzrostu2.
c) wzrost 214 600 cm2.
d) spadek o 63 800 cm2.
e) spadek o 272 600 cm2.
Prawidłowa alternatywa: a) wzrost o 5800 cm².
Aby dowiedzieć się, jaka była zmiana zajmowanej powierzchni, obliczmy powierzchnię przed i po zmianie.
W obliczeniach schematu I użyjemy wzoru na obszar trapezu. Na schemacie II użyjemy wzoru na obszar prostokąta.
Zmiana obszaru będzie wówczas:
A = AII - Aja
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Dlatego po przeprowadzeniu planowanych modyfikacji nastąpiła zmiana powierzchni zajmowanej przez każdą gąsior, co odpowiada wzrostowi o 5800 cm².
Proponowane ćwiczenia (z rozdzielczością)
pytanie 9
Ana postanowiła wybudować w swoim domu prostokątny basen o podstawie 8 m na 5 m wysokości. Wokół w kształcie trapezu była wypełniona trawą.
Wiedząc, że wysokość trapezu wynosi 11 m, a jego podstawy to 20 m i 14 m, jaka jest powierzchnia części wypełnionej trawą?
a) 294 m²2
b) 153 m²2
c) 147 m²2
d) 216 m²2
Prawidłowa alternatywa: c) 147 m²2.
Ponieważ prostokąt reprezentujący basen jest wstawiony wewnątrz większej figury, trapezu, zacznijmy od obliczenia powierzchni figury zewnętrznej.
Powierzchnia trapezu jest obliczana ze wzoru:
Gdzie,
B jest miarą największej podstawy;
b jest miarą najmniejszej podstawy;
h to wysokość.
Podstawiając do wzoru dane zestawienia, mamy:
Teraz obliczmy pole prostokąta. W tym celu wystarczy pomnożyć podstawę przez wysokość.
Aby znaleźć obszar porośnięty trawą, musimy od obszaru trapezu odjąć przestrzeń zajmowaną przez basen.
W związku z tym powierzchnia wypełniona trawą wynosiła 147 m²2.
Zobacz też: Obszar trapezu
pytanie 10
Aby wyremontować dach swojego magazynu, Carlos zdecydował się kupić dachówki kolonialne. Stosując ten rodzaj dachu potrzeba 20 sztuk na każdy metr kwadratowy dachu.
Jeśli dach lokalu tworzą dwie prostokątne płyty, jak na powyższym rysunku, ile dachówek musi kupić Carlos?
a) 12000 płytek
b) 16000 płytek
c) 18000 płytek
d) 9600 płytek
Prawidłowa alternatywa: b) 16000 płytek.
Dach magazynu wykonany jest z dwóch prostokątnych płyt. Dlatego musimy obliczyć pole prostokąta i pomnożyć przez 2.
W związku z tym całkowita powierzchnia dachu wynosi 800 m2.2. Jeśli na każdy metr kwadratowy potrzeba 20 płytek, posługując się prostą zasadą trzech obliczamy, ile płytek wypełnia dach każdego magazynu.
Dlatego konieczny będzie zakup 16 tys. płytek.
Zobacz też: Obszar prostokąta
pytanie 11
Marcia chciałaby, aby dwa identyczne drewniane wazony ozdobiły wejście do jej domu. Ponieważ mogła kupić tylko jeden ze swoich ulubionych, postanowiła zatrudnić stolarza do zbudowania kolejnego wazonu o tych samych wymiarach. Wazon musi mieć cztery boki w kształcie trapezu równoramiennego, a podstawa jest kwadratowa.
Bez uwzględnienia grubości drewna, ile metrów kwadratowych drewna będzie potrzebnych do odtworzenia danego elementu?
a) 0,2131 m²2
b) 0,1311 m²2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Prawidłowa alternatywa: d) 0,3121 m2.
Trapez równoramienny to rodzaj, który ma równe boki i różnej wielkości podstawy. Z obrazka mamy następujące pomiary trapezu z każdej strony naczynia:
Mniejsza podstawa (b): 19 cm;
Większa podstawa (B): 27 cm;
Wysokość (w): 30 cm.
Mając podane wartości, obliczamy obszar trapezu:
Ponieważ naczynie tworzą cztery trapezy, znalezioną powierzchnię musimy pomnożyć przez cztery.
Teraz musimy obliczyć podstawę wazonu, którą tworzy kwadrat o długości 19 cm.
Dodając obliczone powierzchnie, otrzymujemy całkowitą powierzchnię drewna do wykorzystania do budowy.
Jednak powierzchnię należy przedstawić w metrach kwadratowych.
Dlatego bez uwzględnienia grubości drewna potrzebne było 0,3121 m2 materiału do produkcji wazonu.
Zobacz też: Powierzchnia kwadratowa
pytanie 12
Aby ułatwić obliczenie liczby osób biorących udział w wydarzeniach publicznych, ogólnie uważa się, że jeden metr kwadratowy zajmują cztery osoby.
Aby uczcić rocznicę powstania miasta, władze miasta zatrudniły zespół do grania na skwerze zlokalizowanym w centrum miasta, który ma powierzchnię 4000 m2. Wiedząc, że plac był zatłoczony, w przybliżeniu ile osób wzięło udział w wydarzeniu?
a) 16 tys. osób.
b) 32 tys. osób.
c) 12 tys. osób.
d) 40 tys. osób.
Prawidłowa alternatywa: a) 16 tys. osób.
Kwadrat ma cztery równe boki, a jego pole oblicza się ze wzoru: A = L x L.
jeśli w 1 m2 zajmują go cztery osoby, więc czterokrotność całkowitej powierzchni placu daje nam szacunkową liczbę osób, które uczestniczyły w wydarzeniu.
Tym samym w imprezie promowanej przez urząd miasta wzięło udział 16 tys. osób.
Aby dowiedzieć się więcej, zobacz także:
- Płaskie obszary figur
- Figury geometryczne
- Twierdzenie Pitagorasa - ćwiczenia