Statystyka to obszar matematyki zajmujący się zbieraniem, rejestrowaniem, organizacją i analizą danych badawczych.
Temat ten jest poruszany w wielu konkursach. Skorzystaj więc z skomentowanych i rozwiązanych ćwiczeń, aby rozwiać wszystkie wątpliwości.
Skomentowane i rozwiązane problemy
1) Enem - 2017
Ocena pracy studentów na zajęciach uniwersyteckich opiera się na średniej ważonej ocen uzyskanych z przedmiotów według odpowiedniej liczby punktów, zgodnie z tabelą:
Im lepsza ocena studenta w danym semestrze akademickim, tym większy priorytet w wyborze przedmiotów na kolejny semestr.
Pewien student wie, że jeśli uzyska ocenę „Dobrą” lub „Doskonałą”, będzie mógł zapisać się na wybrane przez siebie przedmioty. Zdał już egzaminy z 4 z 5 przedmiotów, na które jest zapisany, ale jeszcze nie przystąpił do egzaminu z przedmiotu I, jak pokazano w tabeli.
Aby mógł osiągnąć swój cel, minimalna ocena, jaką musi osiągnąć z przedmiotu I, to
a) 7.00.
b) 7.38.
c) 7,50.
d) 8.25.
e) 9.00.
Aby obliczyć średnią ważoną, pomnożymy każdą ocenę przez odpowiednią liczbę punktów, następnie dodamy wszystkie znalezione wartości i na koniec podzielimy przez całkowitą liczbę punktów.
W pierwszej tabeli identyfikujemy, że uczeń musi osiągnąć co najmniej średnią równą 7, aby uzyskać „dobrą” ocenę. Dlatego średnia ważona musi być równa tej wartości.
Wywołując brakującą nutę x, rozwiążmy następujące równanie:
Alternatywnie: d) 8.25
2) Enem - 2017
Trzech studentów, X, Y i Z, zapisuje się na kurs języka angielskiego. Aby ocenić tych uczniów, nauczyciel wybrał pięć testów. Aby zaliczyć ten kurs, student musi mieć średnią arytmetyczną ocen z pięciu testów większą lub równą 6. W tabeli wyświetlane są notatki, które każdy uczeń zrobił w każdym teście.
Na podstawie danych z tabeli i podanych informacji poniesiesz porażkę
a) tylko uczeń Y.
b) tylko student Z.
c) tylko uczniowie X i Y.
d) tylko uczniowie X i Z.
e) uczniowie X, Y i Z.
Średnia arytmetyczna jest obliczana przez dodanie wszystkich wartości i podzielenie przez liczbę wartości. W tym przypadku zsumujmy oceny każdego ucznia i podzielmy przez pięć.
Ponieważ uczeń zda ocenę równą lub wyższą niż 6, uczniowie X i Y zdadzą, a uczeń Z nie.
Alternatywnie: b) tylko student Z.
3) Wróg - 2017
Wykres przedstawia stopę bezrobocia (w %) za okres od marca 2008 do kwietnia 2009, uzyskaną na podstawie dane zaobserwowane w regionach metropolitalnych Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo i Porto Szczęśliwy.
Mediana tej stopy bezrobocia w okresie od marca 2008 do kwietnia 2009 wyniosła
a) 8,1%
b) 8,0%
c) 7,9%
d) 7,7%
e) 7,6%
Aby znaleźć wartość mediany, musimy zacząć od uporządkowania wszystkich wartości. Następnie identyfikujemy pozycję, która dzieli zakres na dwie części o tej samej liczbie wartości.
Gdy liczba wartości jest nieparzysta, mediana jest liczbą znajdującą się dokładnie w środku zakresu. Gdy jest parzysty, mediana jest równa średniej arytmetycznej dwóch wartości centralnych.
Obserwując wykres identyfikujemy, że istnieje 14 wartości związanych ze stopą bezrobocia. Ponieważ 14 jest liczbą parzystą, mediana będzie równa średniej arytmetycznej między wartością 7 a 8.
W ten sposób możemy uporządkować liczby, aż osiągniemy te pozycje, jak pokazano poniżej:
6,8; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,9; 7,9; 8,1
Obliczając średnią między 7,9 a 8,1 mamy:
Alternatywnie: b) 8,0%
4) Fuvest - 2016
Pojazd podróżuje między dwoma miastami w Serra da Mantiqueira, pokonując pierwszą trzecią trasa ze średnią prędkością 60 km/h, kolejna trzecia z prędkością 40 km/h, a reszta trasy z prędkością 20 km/h. Wartość, która najlepiej przybliża średnią prędkość pojazdu na tej trasie, w km/h, to
a) 32,5
b) 35
c) 37,5
d) 40
e) 42,5
Musimy znaleźć średnią wartość prędkości, a nie średnią prędkości, w tym przypadku nie możemy obliczyć średniej arytmetycznej, ale średnią harmoniczną.
Średnią harmoniczną używamy, gdy zaangażowane wielkości są odwrotnie proporcjonalne, jak w przypadku prędkości i czasu.
Średnia harmoniczna będąca odwrotnością średniej arytmetycznej odwrotności wartości, mamy:
Dlatego najbliższa wartość w odpowiedziach to 32,5 km/h
Alternatywnie: a) 32,5
5) Enem - 2015
W eliminacjach do finału pływania na 100 metrów stylem dowolnym na igrzyskach olimpijskich zawodnicy na swoich torach uzyskali następujące czasy:
Mediana czasów pokazanych w tabeli wynosi
a) 20,70.
b) 20,77.
c) 20,80.
d) 20,85.
e) 20.90.
Najpierw ustawmy wszystkie wartości, w tym powtarzające się liczby, w kolejności rosnącej:
20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90; 20,90; 20,90; 20,96
Zwróć uwagę, że istnieje parzysta liczba wartości (8 razy), więc mediana będzie średnią arytmetyczną między wartością z 4. pozycji a 5. pozycji:
Alternatywnie: d) 20,85.
6) Enem - 2014
Kandydaci K, L, M, N i P konkurują o jedną ofertę pracy w firmie i zdają testy z języka portugalskiego, matematyki, prawa i informatyki. W tabeli przedstawiono wyniki uzyskane przez pięciu kandydatów.
Zgodnie z ogłoszeniem o wyborze kandydatem zwycięskim będzie ten, dla którego mediana uzyskanych przez niego ocen z czterech przedmiotów jest najwyższa. Wybranym kandydatem będzie
a) K.
b) L.
do)
d) Nie.
e) Q
Musimy znaleźć medianę każdego kandydata, aby określić, która jest najwyższa. Aby to zrobić, uporządkujmy poszczególne oceny i znajdźmy medianę.
Kandydat K:
Kandydat L:
Kandydat M:
Kandydat N:
Kandydat P:
Alternatywnie: d) N
Zobacz też Matematyka w Enem i Wzory matematyczne
7) Fuvest - 2015 r
Sprawdź wykres.
Na podstawie danych z wykresu można słusznie stwierdzić, że wiek
a) mediana matek dzieci urodzonych w 2009 r. była większa niż 27 lat.
b) mediana matek dzieci urodzonych w 2009 r. nie przekraczała 23 lat.
c) mediana matek dzieci urodzonych w 1999 r. była większa niż 25 lat.
d) średnia matek dzieci urodzonych w 2004 r. przekraczała 22 lata.
e) średnia matek dzieci urodzonych w 1999 r. nie przekraczała 21 lat.
Zacznijmy od określenia, w jakim zakresie mieści się mediana matek dzieci urodzonych w 2009 r. (jasnoszare słupki).
W tym celu rozważymy, że mediana wieku znajduje się w punkcie, w którym częstotliwość sumuje się do 50% (środek zakresu).
W ten sposób obliczymy skumulowane częstotliwości. W poniższej tabeli podajemy częstotliwości i częstotliwości skumulowane dla każdego interwału:
| przedziały wiekowe | Częstotliwość | Częstotliwość skumulowana |
| poniżej 15 lat | 0,8 | 0,8 |
| 15 do 19 lat | 18,2 | 19,0 |
| 20 do 24 lat | 28,3 | 47,3 |
| 25 do 29 lat | 25,2 | 72,5 |
| 30 do 34 lat | 16,8 | 89,3 |
| 35 do 39 lat | 8,0 | 97,3 |
| 40 lat lub więcej | 2,3 | 99,6 |
| ignorowany wiek | 0,4 | 100 |
Należy pamiętać, że skumulowana frekwencja wyniesie 50% w przedziale od 25 do 29 lat. Dlatego litery a i b są błędne, ponieważ wskazują wartości spoza tego zakresu.
Użyjemy tej samej procedury, aby znaleźć medianę z 1999 roku. Dane znajdują się w poniższej tabeli:
| przedziały wiekowe | Częstotliwość | Częstotliwość skumulowana |
| poniżej 15 lat | 0,7 | 0,7 |
| 15 do 19 lat | 20,8 | 21,5 |
| 20 do 24 lat | 30,8 | 52,3 |
| 25 do 29 lat | 23,3 | 75,6 |
| 30 do 34 lat | 14,4 | 90,0 |
| 35 do 39 lat | 6,7 | 96,7 |
| 40 lat lub więcej | 1,9 | 98,6 |
| ignorowany wiek | 1,4 | 100 |
W tej sytuacji mediana mieści się w przedziale od 20 do 24 lat. W związku z tym litera c jest również błędna, ponieważ przedstawia opcję, która nie należy do zakresu.
Obliczmy teraz średnią. To obliczenie jest wykonywane przez dodanie iloczynów częstotliwości przez średni wiek przedziału i podzielenie znalezionej wartości przez sumę częstotliwości.
Do obliczeń pominiemy wartości związane z przedziałami „poniżej 15 lat”, „40 lat i więcej” oraz „ignorowany wiek”.
Zatem biorąc wartości z wykresu za rok 2004 mamy następującą średnią:
Nawet gdybyśmy wzięli pod uwagę wartości ekstremalne, średnia byłaby większa niż 22 lata. Więc stwierdzenie jest prawdziwe.
Dla potwierdzenia obliczmy średnią za rok 1999, stosując tę samą procedurę co poprzednio:
Ponieważ znaleziona wartość nie jest mniejsza niż 21 lat, ta alternatywa również będzie fałszywa.
Alternatywnie: d) średnia matek dzieci urodzonych w 2004 r. była większa niż 22 lata.
8) UPE - 2014
W zawodach sportowych pięciu zawodników kwestionuje trzy najlepsze miejsca w konkursie skoku w dal. Klasyfikacja będzie się odbywała w porządku malejącym średniej arytmetycznej uzyskanych przez nich punktów, po trzech kolejnych skokach w teście. W przypadku remisu przyjętym kryterium będzie rosnący porządek wartości wariancji. Wynik każdego zawodnika jest pokazany w poniższej tabeli:
Na podstawie przedstawionych informacji pierwsze, drugie i trzecie miejsce w tych zawodach zajęli odpowiednio zawodnicy
a) A; DO; I
b) B; RE; I
c) ORAZ; RE; b
d) B; RE; DO
i; B; re
Zacznijmy od obliczenia średniej arytmetycznej każdego sportowca:
Ponieważ wszyscy są zremisowani, obliczymy wariancję:
Ponieważ klasyfikacja odbywa się w malejącym porządku wariancji, pierwsze miejsce zajmie Zawodnik A, a następnie Zawodnik C i E.
Alternatywnie: a) A; DO; I
Zdobądź więcej wiedzy dzięki zawartości:
- Odchylenie standardowe
- Wariancja i odchylenie standardowe
- Ćwiczenia prawdopodobieństwa
