Jako liczby rzeczywiste znamy wszystkie liczby wymierne i irracjonalny. Studiując zbiory liczbowe, ważne jest, aby zrozumieć, że podążają za potrzebami i historią ludzkości, zestawy liczbowe to:
- zbiór liczb naturalnych
- zestaw liczb całkowitych
- zbiór liczb wymiernych
- zbiór liczb niewymiernych
- zbiór liczb rzeczywistych
ty liczby rzeczywiste mają właściwości takie jak: asocjacyjny, przemienny, istnienie elementu neutralnego do dodawania i mnożenia, istnienie elementu odwrotnego w mnożeniu i rozdzielności. prawdziwe liczby mogą być reprezentowane na linii rzeczywistej — jak je reprezentować w uporządkowany sposób.
Przeczytaj też: Co to są liczby pierwsze?
Jakie są prawdziwe liczby?
Znamy jako liczby rzeczywiste zbiór utworzony przez związek liczb wymiernych i niewymiernych. Praca z nimi jest dość powszechna, ale zbiór liczb rzeczywistych nie był pierwszym, który pojawił się w historii.
liczby naturalne
O pierwszy zestaw liczb została utworzona przez liczby naturalne. Zostały stworzone z podstawowej potrzeby człowieka liczenia i liczenia przedmiotów jego codziennego życia. ty
liczby naturalne oni są:N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}
liczby całkowite
Wraz z ewolucją społeczeństwa zmieniały się tęsknoty istoty ludzkiej i trzeba pracować z liczbami ujemnymi. Operacje takie jak 4 – 6, które w zbiorze liczb naturalnych nie miały sensu, zaczęły to robić wraz z pojawieniem się tego nowego zbioru. Zestaw wszystkie liczby wymyślił dodawanie liczb ujemnych do zbioru liczb naturalnych, czyli it tworzą liczby naturalne i ich przeciwieństwo.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
liczby wymierne
Okazuje się, że mimo to po dodaniu liczb ujemnych zbiór liczb całkowitych nie wystarczył, ponieważ Starożytny Egipt, dość często używa się liczb, które nie są liczbami całkowitymi. Wtedy zrealizowano potrzebę sformalizowania nowego zbioru: zbioru tworzonego przez wszystkich liczby, które mogą być reprezentowane przez ułamek jest znany jako liczby wymierne.
W przeciwieństwie do zbioru liczb całkowitych, w wymiernym nie można napisać listy terminów z ich poprzednikami i następcami, ponieważ biorąc pod uwagę liczby wymierne, zawsze będzie inny Liczba wymierna między nimi. Na przykład między 1 a 2 jest 1,5; między 1 a 1,5 jest 1,25; i tak dalej. Dlatego do reprezentowania liczb wymiernych używamy następującej notacji:
W tym zapisie liczba wymierna to ta, która może być reprezentowana przez ułamek pod b, na czym? jest liczbą całkowitą i b jest niezerową liczbą całkowitą.
W zbiorze liczb wymiernych wszystkie liczby całkowite zostały uwzględnione które były już znane, ponieważ wszystkie mogą być reprezentowane jako ułamek, oprócz dokładnych liczb dziesiętnych i okresowe dziesięciny, pozytywny i negatywny.
Zobacz też: Co to są liczby porządkowe?
liczby niewymierne
W przeciwieństwie do definicji liczb wymiernych istnieją liczby, których nie można przedstawić jako ułamek. Niektórzy matematycy przestudiowali je na czas, próbując stworzyć taką reprezentację, ale nie jest to możliwe. Te liczby są nieokresowe dziesięciny i korzenie niedokładnie, które w rezultacie generują nieokresowe dziesięciny. Na przykład liczba π jest liczbą niewymierną, która jest dość powszechna w życiu codziennym. Zbiór liczb niewymiernych nie jest wymienialny, podobnie jak liczby wymierne, i jest reprezentowany przez literę ja.
Przykłady:
- √2 → pierwiastki niedokładne są liczbami niewymiernymi;
- -√5 → pierwiastki niedokładne, nawet jeśli liczby ujemne są liczbami niewymiernymi;
- 3.123094921… → nieokresowe ułamki dziesiętne są liczbami niewymiernymi.
liczby rzeczywiste
Ponieważ wszystkie liczby naturalne i całkowite są uważane za wymierne, jak dotąd liczby mogą być podzielone na dwa duże zbiory, zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb irracjonalny. Zbiór liczb rzeczywistych to nic innego jak związek liczb wymiernych i niewymiernych.
R = {P U I}
Jak dotąd wszystkie znane nam liczby nazywane są liczbami rzeczywistymi.
Operacje na liczbach rzeczywistych
Operacje na liczbach rzeczywistych są znane dla wszystkich poprzednich zestawów liczb. Czy oni są:
- dodanie
- odejmowanie
- podział
- mnożenie
- wzmocnienie
- napromieniowanie
Aby wykonać którąkolwiek z tych operacji na liczbach rzeczywistych, nie ma różnicy w porównaniu z operacjami na poprzednich liczbach.
Również biorąc pod uwagę takie operacje, należy podkreślić, że są właściwości w zbiorze liczb rzeczywistych.
Własności liczb rzeczywistych
Ważne jest, aby zrozumieć, że właściwości liczb rzeczywistych są konsekwencje jego definicji i są przydatne do wykonywania operacji. Czy oni są:
- istnienie neutralnego elementu do dodawania i mnożenia
- własność przemienna
- łączność
- własność dystrybucyjna
- istnienie odwrotności
element neutralny
Być liczba rzeczywista.
Jest liczba, która dodaje się do , wyniki same w sobie :
+ 0 =
0 jest neutralnym elementem sumy..
Istnieje liczba, która po pomnożeniu przez , wyniki same w sobie .
· 1 =
1 jest neutralnym elementem mnożenia.
Własność przemienna
Być i b dwie liczby rzeczywiste.
Przy dodawaniu lub mnożeniu kolejność liczb nie zmieni wyniku.
+ b = b +
a · b = b · a
łączność
Być , b i do liczby rzeczywiste.
Zarówno w dodawaniu, jak i mnożeniu obie obsługiwane liczby są obojętne na jakąkolwiek kolejność.
( + b) + do = + (b + do)
(a · b) · ç = · (pne)
własność dystrybucyjna
Być , b i do liczby rzeczywiste.
Własność dystrybucyjna pokazuje, że iloczyn sumy jest równy sumie produktów.
do (a + b) = ca+cb
Istnienie odwrotności
Być niezerowa liczba rzeczywista.
dla każdej liczby rzeczywistej różna od zera, jest liczba taka, że produkt wchodzi a ta liczba jest równa 1.
reprezentacja na linii
Możemy przedstawić zbiór liczb rzeczywistych w linii, ponieważ istnieje there dobrze zdefiniowana dla niego zasada porządku. Ta reprezentacja na linii jest znana jako linia rzeczywista lub reto jest numeryczne i jest to dość powszechne, nawet w badaniach płaszczyzny kartezjańskiej.
Również dostęp: Czym jest ułamek?
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Proszę ocenić następujące stwierdzenia:
I – Okresowe ułamki dziesiętne są liczbami rzeczywistymi.
II – Każda liczba rzeczywista jest wymierna lub irracjonalna.
III – Nie każda liczba całkowita jest naturalna.
Analizując wypowiedzi możemy stwierdzić, że:
A) tylko ja jest fałszywy.
B) tylko II jest fałszywe.
C) tylko III jest fałszywe.
D) wszystkie są prawdziwe.
E) wszystkie są fałszywe.
Rozkład
Alternatywa D.
I – To prawda, skoro dziesięciny są liczbami niewymiernymi, w konsekwencji są liczbami rzeczywistymi.
II – To prawda, ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest sumą liczb rzeczywistych i niewymiernych.
III – Prawda, ponieważ liczby ujemne, takie jak -2 i -5, są liczbami całkowitymi, ale nie naturalnymi.
Pytanie 2 - Sprawdź następujące właściwości:
I - własność przemienna
II - własność rozdzielna
III - własność asocjacyjna
Przeanalizuj następujące operacje i oznacz je liczbą odpowiednich właściwości:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Która z alternatyw odpowiada prawidłowej kolejności właściwości:
A) II - I - III - I
B) I - III - III - II
C) III - II - III - III
D) II - I - III - II
E) II - III - II - I
Rozkład
Alternatywa A.
1 - (II) W tym przypadku miała miejsce własność rozdzielności, ponieważ zauważ, że 3 zostało pomnożone przez każdy z czynników operacji.
2 - (I) W tym przypadku kolejność czynników nie zmienia iloczynu, przemienności mnożenia.
3 - (III) Mamy własność asocjacyjną, ponieważ kolejność dodawania tych elementów nie zmienia sumy.
4 - (I) Tutaj znowu mamy przemienność, ponieważ kolejność działek nie zmienia sumy.
