Sinus, cosinus i tangens

Sinus, cosinus i tangens oni są powody które wiążą środki boczne z miarami kąty na jednego trójkąt prostokątny. Te powody są znane jako relacje trygonometryczne. Aby je zdefiniować, ważne jest poznanie niektórych elementów trójkątprostokąt, które zostaną omówione poniżej:

Elementy trójkąta prostokątnego

Jeden trójkątprostokąt to jest wielokąt trójstronny, który ma wewnętrzny kąt prosto. Trójkąt nie może mieć dwóch lub więcej kątów równych lub większych niż 90°.

Trójkąt o kącie 90°

boki trójkątprostokąt otrzymują specjalne nazwy zgodnie z ich pozycją. Strona przeciwna do kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątna. Pozostałe dwie strony to pekari.

Do powodytrygonometryczny, ważne jest, aby pamiętać, że a kołnierzyk Może być naprzeciwko lub sąsiadujący w zależności od analizowanego kąta. Na przykład w trójkąt powyżej, bok AB jest przeciwprostokątną, a bok BC jest bocznie przeciwny do kąta α i bocznie przylegający do kąta β. Z drugiej strony, bok AC sąsiaduje z kątem α i bokiem przeciwnie do kąta β.

Stosunek sinusa

w danym trójkątprostokąt ABC, mówimy, że sinus kąta α jest równa mierze przeciwna noga do kąta α, podzielonego przez miarę przeciwprostokątna trójkąta. Innymi słowy:

Senα = Katetus naprzeciwko α
przeciwprostokątna

Na przykład następujący trójkąt ma rzeczywiste wymiary a trójkątprostokąt.

Zauważ, że α = 30°, więc

Sen30 = 1
2

Ten środek jest ważny dla wszystkich trójkąt który ma kąt 30°, więc niezależnie od wymiarów jego boków, kołnierzyknaprzeciwko pod kątem 30° będzie zawsze stanowić połowę długości przeciwprostokątna.

Wiedząc o tym, kiedy trójkątprostokąt mając kąt 30°, będzie można wyznaczyć miarę jednego z jego boków, przeciwprostokątnej lub nogi przeciwnej do kąta 30°, znając tylko miarę drugiego. Na przykład w poniższym trójkącie możemy wyznaczyć miarę x.

Zauważ, że kołnierzyknaprzeciwko pod kątem 30° mierzy 10 cm i że przeciwprostokątna tego trójkąta jest nieznany. Wiedząc, że sen30° = 1/2, możemy zrobić:

sen30° = 10
x

1 = 10
2x

x = 2,10

x = 20 cm.

Warto zauważyć, że sinus (O cosinus i tangens) kąta zmieniają się tylko w zależności od zmienności kąta, to znaczy niezależnie od długości boków trójkąta, ilekroć obserwowany sinus wynosi 30°, jego wartość wyniesie 1/2.

współczynnik cosinus

powód cosinus jest podobny do rozumu sinus, jednak definiuje się jako podział między bokiem przylegającym do kąta a przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Zatem cosinus kąta α wynosi:

Cosα = Catheto sąsiadujące z α
Przeciwprostokątna

Ten stosunek może być używany do tych samych celów, co stosunek sinus: znalezienie miary kołnierzyknaprzeciwko lub z przeciwprostokątna z miarą jednej z tych dwóch stron. Dlatego konieczne jest poznanie wartości cosinusów danego kąta.

stosunek stycznej

TEN powódtangens otrzymuje się dzieląc bok przeciwny kąt α przez bok przylegający do kąta α. Innymi słowy:

tgα =  Katetus naprzeciwko α
Catheto sąsiadujące z α

Warto pamiętać, że niezależnie od wymiarów trójkąta, wartości sinus, cosinus i tangens kąta zmienia się tylko wtedy, gdy zmienia się ten kąt.

Tabela wartości sinusa, cosinusa i tangensa niezwykłych kątów

Poniższa tabela zawiera wartości dla sinus, cosinus i tangens z najważniejszych ujęć dla tej treści.

30°	45°	60°
Sen	1 2	√2 2	√3 2
w pasie	√3 2	√2 2	1 2
tg	√3	1	√3 3

Tabela wartości współczynnika trygonometrycznego dla znaczących kątów

Ta tabela zawiera wartości sinus, cosinus i tangens kąty 30°, 45° i 60°. Powinien być używany do odkrywania jednej strony trójkąt, jak pokazano w poniższym przykładzie:

Przykład: Określ wartość x z następujących trójkąt:

W tym trójkącie kąt wynosi 30°, jego przeciwny bok mierzy 10 cm, a my chcemy znaleźć miarę jego sąsiedniego boku. TEN powódtrygonometryczny który używa kołnierzyknaprzeciwko to jest kołnierzyksąsiadujący jest styczną. A zatem:

tg30° = 10
x

Z tabeli wartości podanych powyżej stwierdzamy, że tg 30° = √3. Podstawiając tę ​​wartość do stosunku stycznej, otrzymamy:

√3 = 10
x

x√3 = 10

x = 10
√3

Racjonalizując ułamek, będziemy mieli:

x = 10√3
3

Powiązane lekcje wideo: