Funkcje trygonometryczne półłuku


W funkcje trygonometryczne, sinus, cosinus i tangens połowy łuku można otrzymać z funkcji trygonometrycznych łuku podwójnego.

Biorąc pod uwagę łuk miary \dpi{120} \alfa, podwójny łuk to łuk \dpi{120} 2\alfa a pół łuk jest łukiem \dpi{120} \alfa/2.

Przez dwie formuły dodawania łuku, mamy funkcje trygonometryczne łuku podwójnego:

Sinus:

\dpi{120} \mathrm{sen (2{\alpha})=sen({\alpha + \alpha}) = sin\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} + sin\, {\ alfa} \cdot cos\, {\alfa}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }

cosinus:

\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})=cos({\alpha + \alpha}) = cos\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} - sin\, {\ alfa} \cdot grzech\, {\alfa}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }
Tangens:
\dpi{120} \mathrm{tan (2{\alpha})=tan({\alpha + \alpha}) = \frac{tan\, {\alpha} + tan\, {\alpha}}{1 - tan\, {\alfa} \cdot tan\, {\alfa}}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha }}}

Z tych wzorów pokażemy wzory na półłukowe funkcje trygonometryczne.

Funkcje trygonometryczne półłuku

Jeden z podstawowe relacje trygonometrii czy to:

\dpi{120} \mathbf{sen^2\boldsymbol{\alpha} + cos^2\boldsymbol{\alpha} = 1}

Skąd otrzymujemy:

\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}
\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }

wymiana \dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha} we wzorze na cosinus podwójnego łuku musimy:

\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = cos^2\, {\alpha} - (1 - cos^2\, {\alfa})}
Sprawdź darmowe kursy
  • Bezpłatny kurs edukacji włączającej online
  • Bezpłatna biblioteka zabawek online i kurs edukacyjny
  • Darmowy kurs gier matematycznych online w edukacji wczesnoszkolnej
  • Bezpłatny internetowy kurs pedagogicznych warsztatów kulturalnych
\dpi{120} \mathrm{= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }

W związku z tym:\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }

\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{cos^2\, {\alpha} =\frac{1+cos (2\alpha) }{2} }

wymiana \dpi{120} \alfa za \dpi{120} \alfa/2 w powyższym wzorze i wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego po obu stronach mamy wzór na cosinus pół łuku:

\dpi{120} \mathbf{cos\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\, \boldsymbol{\alpha} }{2} }}

Uwaga: znak we wzorze będzie dodatni lub ujemny w zależności od ćwiartki połowy łuku.

Teraz zastępuję \dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha } we wzorze na cosinus podwójnego łuku musimy:

\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = (1 -sen^2\, {\alpha}) - sen^2\, {\alfa} }
\dpi{120} \mathrm{= 1-2sen^2\, {\alpha} }

W związku z tym:

\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 1-2sen^2\, {\alpha} }
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen^2\, {\alpha} =\frac{1-cos (2\alpha)}{2} }

wymiana \dpi{120} \alfa za \dpi{120} \alfa/2 w powyższym wzorze i wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego po obu stronach mamy wzór na sinus pół łuku:

\dpi{120} \mathbf{sen\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\, \boldsymbol{\alpha}}{2}} }

Uwaga: znak we wzorze będzie dodatni lub ujemny w zależności od ćwiartki połowy łuku.

Na koniec możemy otrzymać tangens połówki łuku, dzieląc sinus połówki łuku przez cosinus połówki łuku:

\dpi{120} \mathrm{tan(\alpha/2) = \frac{sen(\alpha/2)}{cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos\, \alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{1 + cos\, \alfa}}}

Dlatego formuła pół styczna łuku é:

\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha}/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos\, \boldsymbol{\alpha}}{1 + cos\, \boldsymbol{\ alfa}}}}

Uwaga: znak we wzorze będzie dodatni lub ujemny w zależności od ćwiartki połowy łuku.

Możesz być również zainteresowany:

  • koło trygonometryczne
  • tabela trygonometryczna
  • Stosunki trygonometryczne
  • grzechy prawo
  • prawo cosinus

Hasło zostało wysłane na Twój e-mail.

Co to jest logarytm?

Co to jest logarytm?

Logarytm definiuje się jako operację niezgodną z wzmocnienie lub wykładniczy.W potencji znamy pod...

read more
Czym jest geometria płaszczyzny?

Czym jest geometria płaszczyzny?

TEN geometria płaszczyzny jest dziedziną matematyki, która bada figury geometryczne maksymalnie d...

read more
Domena, współdomena i obraz

Domena, współdomena i obraz

Domena, współdomena i obraz istnieją trzy różne zestawy związane z badaniem funkcji. Tak więc, ab...

read more