Funkcje trygonometryczne półłuku

W funkcje trygonometryczne, sinus, cosinus i tangens połowy łuku można otrzymać z funkcji trygonometrycznych łuku podwójnego.

Biorąc pod uwagę łuk miary $\dpi{120} \alfa$ , podwójny łuk to łuk $\dpi{120} 2\alfa$ a pół łuk jest łukiem $\dpi{120} \alfa/2$ .

Przez dwie formuły dodawania łuku, mamy funkcje trygonometryczne łuku podwójnego:

Sinus:

$\dpi{120} \mathrm{sen (2{\alpha})=sen({\alpha + \alpha}) = sin\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} + sin\, {\ alfa} \cdot cos\, {\alfa}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})= 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

cosinus:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})=cos({\alpha + \alpha}) = cos\, {\alpha} \cdot cos\, {\alpha} - sin\, {\ alfa} \cdot grzech\, {\alfa}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})= cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Tangens:

$\dpi{120} \mathrm{tan (2{\alpha})=tan({\alpha + \alpha}) = \frac{tan\, {\alpha} + tan\, {\alpha}}{1 - tan\, {\alfa} \cdot tan\, {\alfa}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})= \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha }}}$

Z tych wzorów pokażemy wzory na półłukowe funkcje trygonometryczne.

Funkcje trygonometryczne półłuku

Jeden z podstawowe relacje trygonometrii czy to:

$\dpi{120} \mathbf{sen^2\boldsymbol{\alpha} + cos^2\boldsymbol{\alpha} = 1}$

Skąd otrzymujemy:

$\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$

$\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$

wymiana $\dpi{120} \mathrm{sen^2\alpha = 1 - cos^2\alpha}$ we wzorze na cosinus podwójnego łuku musimy:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = cos^2\, {\alpha} - (1 - cos^2\, {\alfa})}$

Sprawdź darmowe kursy

Bezpłatny kurs edukacji włączającej online
Bezpłatna biblioteka zabawek online i kurs edukacyjny
Darmowy kurs gier matematycznych online w edukacji wczesnoszkolnej
Bezpłatny internetowy kurs pedagogicznych warsztatów kulturalnych

$\dpi{120} \mathrm{= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

W związku z tym: $\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 2cos^2\, {\alpha} - 1 }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{cos^2\, {\alpha} =\frac{1+cos (2\alpha) }{2} }$

wymiana $\dpi{120} \alfa$ za $\dpi{120} \alfa/2$ w powyższym wzorze i wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego po obu stronach mamy wzór na cosinus pół łuku:

$\dpi{120} \mathbf{cos\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1+cos\, \boldsymbol{\alpha} }{2} }}$

Uwaga: znak we wzorze będzie dodatni lub ujemny w zależności od ćwiartki połowy łuku.

Teraz zastępuję $\dpi{120} \mathrm{ cos^2\alpha = 1-sen^2\alpha }$ we wzorze na cosinus podwójnego łuku musimy:

instagram story viewer

$\dpi{120} \mathrm{cos (2{\alpha})= cos^2\, {\alpha} - sin^2\, {\alpha} = (1 -sen^2\, {\alpha}) - sen^2\, {\alfa} }$

$\dpi{120} \mathrm{= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

W związku z tym:

$\dpi{120} \mathrm{cos (2\alpha)= 1-2sen^2\, {\alpha} }$

$\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{sen^2\, {\alpha} =\frac{1-cos (2\alpha)}{2} }$

wymiana $\dpi{120} \alfa$ za $\dpi{120} \alfa/2$ w powyższym wzorze i wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego po obu stronach mamy wzór na sinus pół łuku:

$\dpi{120} \mathbf{sen\, {(\boldsymbol{\alpha}/2)} = \pm \sqrt{\frac{1-cos\, \boldsymbol{\alpha}}{2}} }$

Uwaga: znak we wzorze będzie dodatni lub ujemny w zależności od ćwiartki połowy łuku.

Na koniec możemy otrzymać tangens połówki łuku, dzieląc sinus połówki łuku przez cosinus połówki łuku:

$\dpi{120} \mathrm{tan(\alpha/2) = \frac{sen(\alpha/2)}{cos(\alpha/2)} = \frac{\sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + cos\, \alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - cos\, \alpha}{1 + cos\, \alfa}}}$

Dlatego formuła pół styczna łuku é:

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha}/2) = \pm \sqrt{\frac{1 - cos\, \boldsymbol{\alpha}}{1 + cos\, \boldsymbol{\ alfa}}}}$

Uwaga: znak we wzorze będzie dodatni lub ujemny w zależności od ćwiartki połowy łuku.

Możesz być również zainteresowany:

koło trygonometryczne
tabela trygonometryczna
Stosunki trygonometryczne
grzechy prawo
prawo cosinus

Hasło zostało wysłane na Twój e-mail.

Funkcje trygonometryczne półłuku

Funkcje trygonometryczne półłuku

10 największych krajów na świecie według terytoriów

18 zagadek matematycznych z odpowiedziami

Kołysanki z brazylijskiego folkloru