Do połowy XVI wieku równania typu x2 – 6x + 10 = 0 uznano po prostu za „brak rozwiązania”. Wynikało to z tego, że zgodnie ze wzorem Bhaskary, przy rozwiązywaniu tego równania otrzymany wynik byłby następujący:
Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
x = –(– 6) ± √– 4
2·1
x = 6 ± √– 4
2
Problem został znaleziony w √– 4, który nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, czyli nie istnieje liczba rzeczywista, która pomnożona przez samą siebie daje √– 4, ponieważ 2,2 = 4 i (–2)(–2) = 4.
W 1572 Rafael Bombelli był zajęty rozwiązywaniem równania x3 – 15x – 4 = 0 według wzoru Cardano. Z tego wzoru wynika, że równanie to nie ma prawdziwych pierwiastków, ponieważ konieczne jest obliczenie √– 121. Jednak po kilku próbach można stwierdzić, że 43 – 15,4 – 4 = 0 i dlatego x = 4 jest pierwiastkiem tego równania.
Mając na uwadze istnienie prawdziwych korzeni niewyrażonych wzorem Cardano, Bombelli wpadł na pomysł, by przypuszczać że √– 121 dałoby √(– 11,11) = 11·√– 1 i może to być „nierzeczywisty” pierwiastek równania badane. Zatem √– 121 będzie częścią nowego typu liczby, która tworzy inne nieznalezione pierwiastki tego równania. Więc równanie x
3 – 15x – 4 = 0, który ma trzy pierwiastki, miałby x = 4 jako pierwiastek rzeczywisty i dwa inne pierwiastki należące do tego nowego typu liczby.Pod koniec XVIII wieku Gauss nazwał te liczby Liczby zespolone. W tym czasie liczby zespolone przybierały już formę a + bi, z i = √– 1. Ponadto, i b były już uważane za punkty płaszczyzny kartezjańskiej, znanej jako płaszczyzna Arganda-Gaussa. Tak więc liczba zespolona Z = a + bi miała jako swoją geometryczną reprezentację punkt P (a, b) płaszczyzny kartezjańskiej.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Dlatego wyrażenie „Liczby zespolone” zaczęto używać w odniesieniu do zbioru liczbowego, którego reprezentantami są: Z = a + bi, gdzie i = √– 1 oraz z i b należące do zbioru liczb rzeczywistych. Ta reprezentacja nazywa się postać algebraiczna liczby zespolonej Z.
Ponieważ liczby zespolone składają się z dwóch liczb rzeczywistych, a jedna z nich jest mnożona przez √– 1, te liczby rzeczywiste otrzymały specjalną nazwę. Biorąc pod uwagę liczbę zespoloną Z = a + bi, a jest „rzeczywistą częścią Z”, a b jest „częścią urojoną Z”. Matematycznie możemy zapisać odpowiednio: Re (Z) = a i Im (Z) = b.
Idea modułu liczby zespolonej krystalizuje się analogicznie do idei modułu liczby rzeczywistej. Rozpatrując punkt P(a, b) jako geometryczną reprezentację liczby zespolonej Z = a + bi, odległość między punktem P a punktem (0,0) wyraża się wzorem:
|Z| = √(The2 + b2)
Drugim sposobem reprezentowania liczb zespolonych jest użycie Postać biegunowa lub trygonometryczna. Ta forma wykorzystuje w swojej budowie moduł liczby zespolonej. Liczbę zespoloną Z, algebraicznie Z = a + bi, można przedstawić w postaci biegunowej przez:
Z = |Z|·(cosθ + icosθ)
Warto zauważyć, że płaszczyzna kartezjańska jest zdefiniowana przez dwie prostopadłe linie, znane jako osie x i y. Wiemy, że liczby rzeczywiste mogą być reprezentowane przez linię, na której umieszczone są wszystkie liczby wymierne. Pozostałe miejsca wypełniamy liczbami niewymiernymi. Podczas gdy wszystkie liczby rzeczywiste są na linii znanej jako Oś X z płaszczyzny kartezjańskiej wszystkie inne punkty należące do tej płaszczyzny byłyby różnicą między liczbami zespolonymi a liczbami rzeczywistymi. Zatem zbiór liczb rzeczywistych jest zawarty w zbiorze liczb zespolonych.
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
Czy chciałbyś odnieść się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Popatrz:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. „Co to są liczby zespolone?”; Brazylia Szkoła. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Dostęp 27 czerwca 2021 r.
