TEN prawo cosinus jest relacja trygonometryczna używany do powiązania stron i kąty na jednego trójkąt każdy, to znaczy ten trójkąt, który niekoniecznie ma kąt prosty. Zwróć uwagę na następujący trójkąt ABC z podświetlonymi miarami:
TEN prawoZcosinusy może być podana przez jeden z poniższych wyrażenia:
2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
b2 =2 + c2 – 2·a·c·cosβ
do2 = b2 +2 – 2·b·a·cosθ
Obserwacja: Nie ma potrzeby zapamiętywania tych trzech formuł. Po prostu wiedz, że prawoZcosinusy zawsze można zbudować. Zauważ, że w pierwszym wyrażeniu α jest kątem przeciwległym do boku, którego miarą jest . Wzór zaczynamy od kwadratu po przeciwnej stronie kąta, który będzie używany w obliczeniach. Będzie równa sumie kwadratów pozostałych dwóch boków minus dwukrotność iloczynu dwóch boków, które nie są przeciwne do tego kąta o cosinus α.
W ten sposób powyższe trzy formuły można sprowadzić do:
2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
Dopóki wiemy, że „" jest pomiarem po przeciwnej stronie „α”, a „b” i „c” są wymiarami dwóch pozostałych stron trójkąt.
Demonstracja
Biorąc pod uwagę trójkąt Dowolny ABC, z miarami zaznaczonymi na poniższym rysunku:
Rozważmy trójkąty ABD i BCD utworzone przez wysokość BD trójkąta ABC. Używając twierdzenie Pitagorasa w ABD będziemy mieli:
do2 = x2 + h2
H2 = c2 – x2
Używając tego samego twierdzenia dla trójkąt BCD, będziemy mieli:
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
2 = y2 + h2
H2 =2 - tak2
Wiedząc, że istnieje2 = c2 – x2, będziemy mieli:
do2 – x2 =2 - tak2
do2 – x2 + y2 =2
2 = c2 – x2 + y2
Uwaga na zdjęciu trójkąt gdzie b = x + y, gdzie y = b – x. Podstawiając tę wartość w otrzymanym wcześniej wyniku, otrzymamy:
2 = c2 – x2 + y2
2 = c2 – x2 + (b-x)2
2 = c2 – x2 + b2 – 2bx + x2
2 = c2 + b2 – 2bx
Wciąż patrząc na figurę, zauważ, że:
cosα = x
do
c·cosα = x
x = c·cosα
Zastępując ten wynik w poprzednim wyrażeniu, otrzymamy:
2 = c2 + b2 – 2bx
2 = c2 + b2 – 2b·c·cosα
Jest to dokładnie pierwsze z trzech przedstawionych powyżej wyrażeń. Pozostałe dwa można uzyskać analogicznie do tego.
Przykład - Na trójkąt następnie oblicz miarę x.
Rozwiązanie:
Używając prawoZcosinusy, zauważ, że x jest miarą strony przeciwnej do kąta 60°. Dlatego pierwsza „liczba”, która pojawi się w rozwiązaniu, powinna brzmieć:
x2 = 102 + 102 – 2·10·10·cos60°
x2 = 100 + 100 – 2.100·cos60°
x2 = 200 - 200·cos60°
x2 = 200 – 200·1
2
x2 = 200 – 100
x2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Ponieważ nie ma długości ujemnych, wynik powinien być tylko wartością dodatnią, tj. x = 10 cm.
Luiz Moreira
Ukończył matematykę
Czy chciałbyś odnieść się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Popatrz:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. „Co to jest prawo cosinusa?”; Brazylia Szkoła. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. Dostęp 27 czerwca 2021 r.
