Trygonometria to słowo pochodzenia greckiego, które odnosi się do miary trzech kątów. Studia w tym obszarze Matematyki koncentrują się na trójkąty, które są wielokątami, które mają trzy boki, a w konsekwencji trzy kąty. Na początku trygonometria zajmuje się badaniem niektórych własności i relacji trójkątów prostokątnych, aby później powiązać pomiary boków trójkątów z pomiarami kątów.
Te właściwości i relacje są rozszerzane do dowolnych trójkątów poprzez twierdzenia znane jako grzechy prawo i prawo cosinus. Później niektóre z tych wyników są obserwowane w trójkątach, których boki są znaczącymi segmentami koła, które jest znane jako „okrąg trygonometryczny”.
TEN trygonometria proponuje świetną nowość. Wcześniej można było rozpatrywać tylko obliczenia i własności obejmujące wyłącznie boki lub wyłącznie kąty trójkąta lub podstawowe relacje między tymi elementami. Po jego przybyciu można bezpośrednio powiązać pomiary boków trójkąta z pomiarem jednego z jego kątów. Warto zauważyć, że relacje między godnymi uwagi bokami i segmentami w trójkącie również składają się na trygonometria.
Przed zagłębieniem się w koncepcję trygonometria, Ważne jest, aby wiedzieć, jakie są najważniejsze elementy w trójkącie prostokątnym. Elementy te przedstawiono poniżej:
Elementy trójkąta prostokątnego
Każdy trójkąt prostokątny można podzielić na dwa inne trójkąty prostokątne, jak pokazano na poniższym rysunku, śledząc wysokość „h” w stosunku do podstawy „a”.
Wysokość tego trójkąta prostokątnego tworzy z podstawą dwa kąty 90° 90°
Biorąc pod uwagę trójkąt ABD, prostokąt w B, można zaobserwować następujące elementy:
1 – Boki AB i BD nazywane są bokami, a ich wymiary to odpowiednio c i b;
2 – Strona AD nazywana jest przeciwprostokątną, a jej pomiar to a. Ta strona będzie zawsze przeciwna do kąta 90°;
3 – BE to wysokość trójkąta ABD względem podstawy AD, a jej wymiar to h. (pamiętając, że wysokość zawsze tworzy względem niej kąt 90°);
4 – AE to rzut prostopadły odnogi AB na przeciwprostokątną. Jego miarą jest m;
5 – ED to rzut prostopadły nogi BD na przeciwprostokątną. Jego pomiar to n.
Następnie przedstawiamy i omawiamy niektóre właściwości obserwowane w trygonometrii, oparte na elementach trójkąta prostokątnego wyeksponowanych powyżej.
Relacje metryczne w trójkącie prawym
Są to równości, które wiążą boki, wysokość i rzuty prostopadłe trójkąta prostokątnego:
1) c2 = średnia
2) b·c = a·h
3) h2 =m·n
4) b2 = nie
5)2 = b2 + c2 (Twierdzenie Pitagorasa)
Stosunki trygonometryczne lub stosunki w prawym trójkącie
Te równości odnoszą stosunek boków trójkąta prostokątnego do jednego z jego kątów ostrych. W tym celu należy ustalić jeden z dwóch kątów i obserwować w prawym trójkącie definicje strony przeciwnej i strony sąsiedniej:
Trójkąt prostokątny, podkreślający kąt α
BD jest przeciwna noga do kąta α;
AB to sąsiednia noga do kąta α.
Są to warunki wstępne do zdefiniowania stosunki trygonometryczne. Czy oni są:
→ Sinus α
grzech α = Katetus naprzeciwko α
Przeciwprostokątna
→ Cosinus α
cos α = Catheto sąsiadujące z α
Przeciwprostokątna
→ Tangens α
tg α = Katetus naprzeciwko α
Catheto sąsiadujące z α
Te powody dotyczą każdego to trójkąt prostokątny który ma kąt ostry równy α. Wynik tych podziałów jest zawsze taki sam, niezależnie od długości boku trójkąta, jak dwa trójkąty, które mają dwa równe kąty, ze względu na trójkątne podobieństwo kątowe, mają proporcjonalne boki. Stąd wynika, że stosunek boków jest równy.
koło trygonometryczne
Nazywany również cyklem trygonometrycznym lub okręgiem trygonometrycznym (bardziej poprawne, ale mniej popularne nazwy), jest to zorientowany okrąg o promieniu 1. Na tym obwodzie a trójkąt prostokątny, którego kąt α pokrywa się z początkiem, tak że wysokość tego trójkąta biegnie od osi odciętej do krawędzi okręgu.
Ta wysokość pokrywa się z wartością sinus, ponieważ jest to strona przeciwna do kąta α. Miara, która biegnie od punktu, w którym wysokość styka się z osią odciętej do początku, pokrywa się z bokiem przylegającym do kąta α, czyli z wartością cosinus.
Te koincydencje występują, ponieważ przeciwprostokątna ma zawsze wartość 1, ponieważ jest to promień okręgu. Zwróć uwagę na te właściwości na poniższym obrazku:
Okrąg o promieniu 1, na którym umieszcza się trójkąt prostokątny do oceny jego właściwości
Niezależnie od tego, jaki trójkąt prostokątny jest zbudowany na tym okręgu, strona pokrywająca się z częścią osi odciętej mierzy dokładnie wartość cosinusa α, a druga strona mierzy dokładnie sinus α.
Funkcje trygonometryczne
Za pomocą okręgu trygonometrycznego można zdefiniować funkcje trygonometryczne które wiążą każdy element zbioru liczb rzeczywistych z pojedynczym elementem również zbioru liczb rzeczywistych. Jednak liczby te są wyrażone w radianach, które są jednostką miary w funkcji π, ponieważ po 360° w koło trygonometryczne, liczenie stopni, a co za tym idzie elementów dziedzinowych i przeciwdziedzinowych opartej na niej funkcji można rozpocząć od zera.
podstawowe relacje
Podstawowe zależności trygonometrii to:
1) Podstawowy związek 1
Sen2α + cos2α = 1
2) styczna z α
tg α = grzech α
cos α
3) Cotangens z α, który jest odwrotnością tangensa α
cog α = cos α
grzech α
4) Secs of α, który jest odwrotnością cosinusa α
sek α = 1
cos α
5) Cosekans α, który jest odwrotnością sinusa α
cosek α = 1
grzech α
6) Związek powstający 1
tg2α + 1 = s2α
7) Relacja 2
domek2α + 1 = cosek2α
8) Powtarzający się związek 3
cog α = 1
tg α
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm
