Jakie są maksymalne i minimalne punkty?

ty punkty z maksymalny jest od Minimum są zdefiniowane i omawiane tylko dla funkcje licealne, ponieważ mogą istnieć na dowolnej krzywej.

Wcześniej pamiętajmy: a zawód z drugastopień to taki, który można zapisać w postaci f (x) = ax² + bx + c. O graficzny tego typu funkcji jest przypowieść, kto może mieć twoją wklęsłość zakryte lub do góry. Również na tej figurze znajduje się punkt zwany wierzchołek, reprezentowana przez literę V, która może być Wynikwmaksymalny albo WynikwMinimum funkcji.

maksymalny punkt

Wszystko zawód z drugastopień z < 0 ma Wynikwmaksymalny. Innymi słowy, maksymalny punkt jest możliwy tylko w Funkcje z wklęsłością skierowaną w dół. Jak pokazano na poniższym rysunku, maksymalny punkt V jest najwyższym punktem funkcji drugiego stopnia z < 0.

Zauważ, że grafika tego the zawód rośnie aż do osiągnięcia Wynikwmaksymalny, po czym wykres staje się malejący. Najwyższym punktem tej przykładowej funkcji jest jej punkt maksymalny. Zauważ również, że nie ma punktu o współrzędnej y większej niż V = (3, 6) i że wartość x przypisana do punktu maksymalnego znajduje się w punkcie środkowym

człon, którego końce są korzenie funkcji (kiedy są to liczby rzeczywiste).

Pamiętaj też, że Wynikwmaksymalny zawsze pokrywa się z wierzchołek funkcji z wklęsłością skierowaną w dół.

Punkt minimalny

Wszystko zawód z drugastopień o współczynniku a > 0 ma WynikwMinimum. Innymi słowy, punkt minimum jest możliwy tylko w funkcjach z wklęsłością skierowaną do góry. Zauważ na poniższym rysunku, że V jest najniższym punktem paraboli:

Wykres tego zawód maleje aż do osiągnięcia WynikwMinimum, po czym nadal rośnie. Ponadto punkt minimum V jest najniższym punktem tej funkcji, to znaczy nie ma innego punktu o współrzędnej y mniejszej niż –1. Zauważ też, że wartość x związana z y w punkcie minimum znajduje się również w środku odcinka, którego punktami końcowymi są pierwiastki funkcji (gdy są to liczby rzeczywiste).

Pamiętaj też, że WynikwMinimum zawsze pokrywa się z wierzchołek funkcji z wklęsłością skierowaną do góry.

Punkt maksymalny lub minimalny w prawie tworzenia funkcji

Wiedząc, że prawo tworzenia zawódzdrugastopień ma postać f (x) = ax² + bx + c, możesz użyć relacji między współczynnikami a, b i c, aby znaleźć współrzędne wierzchołek funkcji. Współrzędne wierzchołka będą dokładnie współrzędnymi jego punktu maksymalny lub z Minimum.

Wiedząc, że współrzędna x wierzchołek z zawód jest reprezentowana przez xv, będziemy mieli:

Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)

x_v = - B
2.

Wiedząc, że współrzędna y wierzchołek z zawód jest reprezentowana przez yv, będziemy mieli:

tak_v = – Δ
4.

Zatem współrzędne wierzchołka V będą wynosić: V = (x_vtak_v).

Jeśli wierzchołek będzie punkt maksymalny lub z Minimum, wystarczy przeanalizować wklęsłość przypowieści:

Jeśli a < 0, parabola ma punkt szczytowy.

Jeśli a > 0, parabola ma punkt minimalny.

Zauważ, że gdy funkcja ma dwa pierwiastki rzeczywiste, x_v będzie w środku odcinka, którego końce są korzeniami zawód. Więc inna technika znajdowania x_v i ty_v jest znalezienie pierwiastków funkcji, znalezienie środka prostej łączącej je i zastosowanie tej wartości do funkcji, aby znaleźć y_v związane z.

Przykład:

Określ wierzchołek funkcji f(x) = x² + 2x – 3 i powiedz, czy jest Wynikwmaksymalny lub z Minimum.

Pierwsze rozwiązanie: Oblicz współrzędne wierzchołek za pomocą podanych wzorów, wiedząc, że a = 1, b = 2 i c = – 3.

x_v = - B
2.

x_v = – 2
2·1

x_v = – 1

tak_v = – Δ
4.

tak_v = – (2² – 4·1·[– 3])
4·1

tak_v = – (4 + 12)
4

tak_v = – 16
4

tak_v = – 4

Zatem V = (– 1, – 4) i funkcja ma WynikwMinimum, ponieważ a = 1 > 0.

Drugie rozwiązanie: Znajdź korzenie zawód z drugastopień, określ środek segmentu łączącego, którym będzie x_vi zastosuj tę wartość do funkcji, aby znaleźć y_v.

Pierwiastki funkcji podane przez kwadratowa metoda uzupełniania, oni są:

f(x) = x² + 2x – 3

0 = x² + 2x – 3

4 = x² + 2x – 3 + 4

x² + 2x + 1 = 4

(x + 1)² = 4

Wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu członków, otrzymamy:

√[(x + 1)²] = √4
x + 1 = ± 2
x = ± 2 - 1

x’ = 2 - 1 = 1

x" = – 2 – 1 = – 3

Odcinek, który przechodzi od – 3 do 1, ma jako swój punkt środkowy x_v = – 1. Aby uzyskać więcej informacji, sprawdź obraz po rozwiązaniu. Stosowanie x_v w funkcji będziemy mieli:

f(x) = x² + 2x – 3

tak_v = (– 1)² + 2(– 1) – 3

tak_v = 1 – 2 – 3

tak_v = 1 – 5

tak_v = – 4

Te wyniki są tymi samymi wartościami, które znajdują się w pierwszym rozwiązaniu: V = (– 1, – 4). Ponadto funkcja ma WynikwMinimum, ponieważ a = 1 > 0.

Poniższy obrazek pokazuje wykres tego zawód z jego korzeniami i minimalnym punktem V.

Warto zauważyć, że formułę Bhaskary można również wykorzystać do znalezienia korzeni funkcji w tej treści.

Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę