Twierdzenie D'Alemberta

Twierdzenie D'Alemberta jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia o resztach, które dotyczą podziału wielomianu przez dwumian typu x – a. Twierdzenie o resztach mówi, że wielomian G(x) podzielony przez dwumian x – a będzie miał resztę R równą P(a), dla
x = a. Francuski matematyk D'Alembert dowiódł, biorąc pod uwagę cytowane powyżej twierdzenie, że wielomian dowolne Q(x) będzie podzielne przez x – a, czyli reszta z dzielenia będzie równa zero (R = 0), jeśli P(a) = 0.
Twierdzenie to ułatwiło obliczenie dzielenia wielomianu przez dwumian (x –a), więc nie jest konieczne rozwiązywanie całego dzielenia, aby wiedzieć, czy reszta jest równa lub różna od zera.
Przykład 1
Oblicz resztę z dzielenia (x² + 3x – 10: (x – 3).
Jak mówi Twierdzenie D'Alemberta, reszta (R) z tego dzielenia będzie równa:
P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Więc reszta tego podziału będzie wynosić 8.
Przykład 2
Sprawdź, czy x⁵ – 2x⁴ + x³ + x – 2 jest podzielne przez x – 1.
Według D’Alemberta wielomian jest podzielny przez dwumian, jeśli P(a) = 0.

P(1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P(1) = 1 - 2 + 1 + 1 - 2
P(1) = 3 - 4
P(1) = – 1
Ponieważ P(1) jest niezerowe, wielomian nie będzie podzielny przez dwumian x – 1.
Przykład 3
Oblicz wartość m tak, aby pozostała część dzielenia wielomianu
P(x) = x⁴ – mx³ + 5x² + x – 3 przez x – 2 to 6.
Mamy to, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6
P(2) = 2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8
Przykład 4
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu 3x³ + x² – 6x + 7 na 2x + 1.
R = P(x) → R = P(– 1/2)
R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

przez Marka Noah
Ukończył matematykę
Brazylijska drużyna szkolna

Wielomiany - Matematyka - Brazylia Szkoła

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm