Macierz trójkątna: rodzaje, wyznacznik, ćwiczenia

Matryca jest trójkątna gdy wszystkie elementy powyżej głównej przekątnej lub poniżej głównej przekątnej są puste. Istnieją dwie możliwe klasyfikacje dla tego typu macierzy: pierwsza to sytuacja, w której elementy powyżej głównej przekątnej są zerowe, co tworzy dolną macierz trójkątną; drugi ma miejsce, gdy elementy poniżej głównej przekątnej są zerowe, tworząc górną trójkątną macierz.

Aby obliczyć wyznacznik macierzy trójkątnej według reguły Sarrusa, wystarczy wykonać mnożenie głównej przekątnej, ponieważ pozostałe mnożenia będą równe zero.

Przeczytaj też: Tablica — co to jest i istniejące typy

Macierz trójkątna jest szczególnym przypadkiem macierzy.

Trójkątne typy macierzy

Aby zrozumieć, czym jest macierz trójkątna, należy pamiętać, jaka jest główna przekątna macierzy kwadratowej, czyli macierz o tej samej liczbie wierszy i kolumn. Główną przekątną matrycy są terminy a._ij, gdzie i = j, czyli są to terminy, w których numer wiersza jest równy numerowi kolumny.

Przykład:

Terminy na głównej przekątnej są podświetlone na czerwono.

Rozumiejąc, czym jest macierz kwadratowa i jaka jest jej główna przekątna, dowiedzmy się, czym jest macierz trójkątna i jej klasyfikacje. Istnieją dwie możliwe klasyfikacje macierzy trójkątnej: dolna trójkątna matryca i górna trójkątna matryca.

• Dolna trójkątna matryca: występuje, gdy wszystkie wyrazy powyżej głównej przekątnej są równe zeru, a wyrazy poniżej głównej przekątnej są liczby rzeczywiste.

Przykład liczbowy:

• Górna trójkątna matryca: występuje, gdy wszystkie wyrazy poniżej głównej przekątnej są równe zeru, a wyrazy powyżej głównej przekątnej są liczbami rzeczywistymi.

Przykład liczbowy:

macierz diagonalna

Matryca diagonalna to a szczególny przypadek macierzy trójkątnej. W nim jedynymi terminami, które są niezerowe, są te, które znajdują się na głównej przekątnej. Wszystkie terminy powyżej lub poniżej głównej przekątnej są równe zeru.

Przykłady liczbowe macierzy diagonalnej:

Wyznacznik macierzy trójkątnej

Biorąc pod uwagę macierz trójkątną, obliczając wyznacznik tej macierzy przez matrix Zasada Sarrusaruswidać, że wszystkie mnożenia są równe zeru, z wyjątkiem mnożenia wyrazu głównej przekątnej.

det (A) = a₁₁ · a₂₂· a₃₃ +₁₂ · a₂₃ · 0 +₁₃ · 0 · 0 - (₁₃ ·The₂₃ ·0 +₁₁ · a₂₃ · 0 +₁₂ · 0· a₃₃)

Zauważ, że we wszystkich terminach z wyjątkiem pierwszego, zero jest jednym z czynników, a wszystko mnożenie przez zero jest równe zeru, więc:

det (A) = a₁₁ · a₂₂· a₃₃

Zauważ, że jest to iloczyn pomiędzy warunkami głównej przekątnej.

Niezależnie od liczby wierszy i kolumn macierz trójkątna, jej wyznacznik zawsze będzie równy iloczynowi wyrazów głównej przekątnej.

Zobacz też: Wyznacznik — cecha stosowana do macierzy kwadratowych

Właściwości macierzy trójkątnej

Trójkątna macierz ma pewne specyficzne właściwości.

• I nieruchomość: wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi warunków głównej przekątnej.
• 2. nieruchomość: iloczynem pomiędzy dwiema trójkątnymi matrycami jest macierz trójkątna.
• trzecia właściwość: jeśli jeden z warunków głównej przekątnej macierzy trójkątnej jest równy zero, to jego wyznacznik będzie równy zero, a w konsekwencji nie będzie odwracalny.
• 4. nieruchomość: odwrotna macierz trójkątnej macierzy jest również macierzą trójkątną.
• 5. nieruchomość: suma dwóch górnych macierzy trójkątnych to górna macierz trójkątna; podobnie suma dwóch niższych macierzy trójkątnych jest macierzą trójkątną dolną.

rozwiązane ćwiczenia

1) Biorąc pod uwagę macierz A, wartość wyznacznika A wynosi:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Rozkład

Alternatywa re.

Ta macierz jest trójkątna dolna, więc jej wyznacznikiem jest mnożenie wyrazów na głównej przekątnej.

det (A) = 1,3,3,1,5 = 45

2) Oceń następujące stwierdzenia.

I → Każda macierz kwadratowa jest trójkątna.

II → Suma górnej trójkątnej macierzy z dolną trójkątną matrycą jest zawsze macierzą trójkątną.

III → Każda przekątna macierz jednostkowa jest macierzą trójkątną.

Prawidłowa kolejność to:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Rozkład

Alternatywa re.

I → Fałsz, ponieważ każda macierz trójkątna jest kwadratowa, ale nie każda macierz kwadratowa jest trójkątna.

II → Fałsz, ponieważ suma pomiędzy górną i dolną macierzą trójkątną nie zawsze daje macierz trójkątną.

III → Prawda, ponieważ wyrazy różne od przekątnej są równe zeru.

Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm