W operacjach między macierzami wiemy, że mnożenie macierzy to długi i żmudny proces. Zatem dzisiaj poznamy twierdzenie, które nie wymaga znajdowania macierzy iloczynu do obliczenia jej wyznacznika i w którym wyznacznik każdej macierzy może być użyty osobno.
W tym celu przedstawimy twierdzenie Bineta i zobaczymy, jak jest stosowane do obliczania wyznaczników.
„Niech A i B będą dwiema macierzami kwadratowymi tego samego rzędu, a AB macierzą iloczynu, więc mamy det (AB)=(det A).(det B)”.
Oznacza to, że zamiast znajdowania iloczynu macierzy, a następnie obliczania jego wyznacznika, można obliczyć wyznacznik każdej macierzy i pomnożyć je.
Spójrzmy na przykład, aby zrozumieć, jak ciężka byłaby praca, gdyby nie istniało twierdzenie Bineta.
Przykład 1:
Gdybyśmy nie mieli twierdzenia Bineta, musielibyśmy wykonać następujący proces, aby obliczyć det (A.B).
1. Znajdź macierz produktu (AB).
2. Oblicz wyznacznik iloczynu macierzy.
Gdybyś nie miał kalkulatora do robienia tych mnożenia z dużymi liczbami, byłoby to trudne, prawda?
Zobacz obliczenie tego samego wyznacznika, ale przy użyciu twierdzenia Bineta.
Najpierw znajdźmy wyznacznik każdej macierzy z osobna:
Jak widzieliśmy, z twierdzenia Bineta det(AB)=(det A).(det B):
Przykład 2:
Obliczymy ponownie, korzystając z dwóch procedur:
Jest to naprawdę o wiele łatwiejszy i bardziej praktyczny proces w porównaniu z poprzednim, w końcu oszczędza pracy związanej z koniecznością znalezienia matrycy-produktu, co jest procesem długotrwałym i żmudnym. Ponadto wyznacznik macierzowo-iloczynowy najczęściej ma iloczyn dużych liczb, co pociąga za sobą żmudne mnożenie i dodawanie kilku liczb.
Autor: Gabriel Alessandro de Oliveira
Ukończył matematykę
Brazylijska drużyna szkolna
Macierz i wyznacznik- Matematyka - Brazylia Szkoła
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-binet.htm