Układ z powtórzeniem: co to jest, wzór, przykłady

Wiemy jak powtórz układ lub kompletny układ, wszystkie uporządkowane przegrupowania, z którymi możemy się uformować k elementy zestawu z Nie elementy, z elementem Nie może pojawić się więcej niż raz. TEN analiza kombinatoryczna jest to obszar matematyki, który rozwija techniki liczenia w celu znalezienia liczby możliwych klastrów w określonych sytuacjach.

Wśród tych ugrupowań znajduje się układ z powtórzeniami, obecny np. w tworzenie haseł, tablic rejestracyjnych, miedzy innymi. Aby rozwiązać te sytuacje, stosujemy formułę aranżacyjną z powtarzaniem jako techniką liczenia. Istnieją różne formuły obliczania układu powtarzającego się i układu niepowtarzającego się, dlatego ważne jest, aby wiedzieć, jak odróżnić każdą z tych sytuacji, aby zastosować prawidłową technikę liczenia.

Przeczytaj też: Podstawowa zasada liczenia - główna koncepcja analizy kombinatorycznej

Co to jest układ z powtórzeniami?

Istnieje układ z powtórzeniami w produkcji tabliczek samochodowych. [1]

W naszym codziennym życiu spotykamy się z sytuacjami, w których występują sekwencje i grupy, które pojawiają się w wybieraj hasła z portali społecznościowych lub banku, a także z numerów telefonów lub sytuacji, które dotyczą kolejki. W każdym razie jesteśmy otoczeni sytuacjami, które dotyczą tych grup.

Na przykład na tablicach rejestracyjnych, które składają się z trzech liter i czterech cyfr, znajduje się unikalny ciąg po stanie, który identyfikuje każdy z samochodów, w tym przypadku, z którym pracujemy ustalenia. Gdy istnieje możliwość powtórzenia elementów, pracujemy z układem kompletnym lub układem z powtórzeniem.

Biorąc pod uwagę zestaw z Nie elementy, które znamy jako układ z powtórzeniem wszystkie grupy, z którymi możemy tworzyć can k elementy tego zestaw, gdzie element można powtórzyć więcej niż raz. Na przykład na tablicach rejestracyjnych pojazdów jest to liczba możliwych tablic rejestracyjnych, które możemy uformować, biorąc biorąc pod uwagę, że mają trzy litery i cztery cyfry oraz że litery i cyfry mogą się powtarzać.

Aby obliczyć liczbę możliwych powtarzających się układów, posługujemy się bardzo prostym wzorem.

Formuła aranżacyjna z powtórzeniami

Aby znaleźć pełną kwotę aranżacyjną Nie odrębne elementy zaczerpnięte z k w

O, w danej sytuacji, która pozwala na powtórzenie elementu, posługujemy się następującym wzorem:

POWIETRZE_Nie,_k = Nie^k

AR → układ z powtórzeniami
Nie → ilość elementów w zestawie
k → liczba elementów, które zostaną wybrane

Zobacz też: Proste połączenie - policz wszystkie podzbiory danego zestawu

Jak obliczyć powtarzającą się liczbę aranżacji?

Aby lepiej zrozumieć, jak zastosować wzór powtarzania układu, zobacz poniższy przykład.

Przykład 1:

Hasło bankowe ma pięć cyfr składających się wyłącznie z cyfr, jaka jest liczba możliwych haseł?

Wiemy, że hasło jest pięciocyfrowym ciągiem znaków i nie ma ograniczeń co do powtórzeń, dlatego zastosujemy formułę aranżacji z powtórzeniami. Użytkownik musi wybrać spośród 10 cyfr, z których będzie składać się każda z pięciu cyfr tego hasła, czyli chcemy obliczyć układ z powtarzaniem 10 elementów pobieranych co pięć.

POWIETRZE_10,5 = 10⁵ = 10.000

Tak więc istnieje 10 000 możliwości hasła.

Przykład 2:

Wiedząc, że tablice rejestracyjne pojazdów składają się z trzech liter i czterech cyfr, ile tablic rejestracyjnych można utworzyć?

Nasz alfabet składa się z 26 liter, a możliwych jest 10 liczb, więc podzielmy się na dwie pełne tablice i znajdźmy liczbę możliwych tablic dla liter i cyfr.

POWIETRZE_26,3 = 26³ = 17.576
POWIETRZE₁₀,₄ = 10⁴ = 10.000

Zatem suma możliwych rozwiązań to:

17.576 · 10.000 = 1.757.600.000

Różnica między prostym układem a powtarzalnym układem

Odróżnienie prostego układu od układu z powtórzeniami jest niezbędne do rozwiązywania problemów na dany temat. Ważne dla zróżnicowania jest uświadomienie sobie, że kiedy mamy do czynienia z sytuacją, w której dochodzi do przegrupowań, których kolejność jest ważna, chodzi o uzgodnienia, a jeśli te przegrupowania dopuszczają powtarzanie się terminów, jest to uzgodnienie z powtórzeniem, znane również jako układ kompletny. Gdy przegrupowanie nie pozwala na powtórzenie, To jest o prosty układ.

Wzór na układ prosty różni się od tego, którego używamy do układania powtarzalnego.

Widzieliśmy wcześniej przykłady powtarzających się aranżacji, teraz zobacz przykład prostego aranżacji

Przykład:

Paulo chce umieścić na swojej półce trzy ze swoich 10 podręczników szkolnych, różniących się od siebie. Na ile sposobów może uporządkować te książki?

Zwróć uwagę, że w tym przypadku kolejność jest ważna, ale nie ma powtórzeń, ponieważ jest to prosty układ. Aby znaleźć liczbę możliwych grupowań, musimy:

Aby dowiedzieć się więcej o tej innej formie grupowania stosowanej w analizie kombinatorycznej, przeczytaj tekst: TENprosty układ.

Ćwiczenia rozwiązane:

Pytanie 1 - (Enem) Bank poprosił swoich klientów o stworzenie osobistego sześciocyfrowego hasła, składającego się wyłącznie z cyfr od 0 do 9, w celu uzyskania dostępu do konta czekowego przez Internet. Specjalista ds. elektronicznych systemów zabezpieczeń zalecił jednak, aby kierownictwo banku dokonało ponownej rejestracji użytkowników, prosząc o każdy z nich, stworzenie nowego hasła z sześcioma cyframi, które teraz pozwala na użycie 26 liter alfabetu, oprócz cyfr od 0 do 9. W tym nowym systemie każda wielka litera była odrębna od jej małej wersji. Ponadto zabroniono używania innych rodzajów znaków.

Jednym ze sposobów oceny zmiany w systemie haseł jest sprawdzenie współczynnika poprawy, co jest przyczyną nowej liczby możliwości hasła w stosunku do starego. Zalecany współczynnik poprawy zmiany to:

Rozkład

Alternatywa A

Stare hasło to tablica z powtórzeniami, ponieważ może składać się ze wszystkich liczb, więc jest to tablica 10 elementów pobieranych co sześć.

POWIETRZE_10,6 = 10⁶

Nowe hasło może składać się z 10 cyfr, a także wielkich liter (26 liter) i małe litery (26 liter), więc hasło ma dla każdej cyfry łącznie 10 + 26 + 26 = 62 możliwości. Ponieważ cyfr jest sześć, obliczymy układ z powtarzaniem 62 elementów pobieranych co sześć.

POWIETRZE_62,6 = 62⁶

TEN powód nowej liczby możliwości hasła w porównaniu ze starym wynosi 62⁶/10⁶.

Pytanie 2 - (Enem 2017) Firma zbuduje swoją stronę internetową i ma nadzieję przyciągnąć publiczność około miliona klientów. Aby uzyskać dostęp do tej strony, będziesz potrzebować hasła w formacie zdefiniowanym przez firmę. Programator oferuje pięć opcji formatowania, opisanych w tabeli, gdzie „L” i „D” oznaczają odpowiednio dużą literę i cyfrę.

Litery alfabetu spośród 26 możliwych, a także cyfry spośród 10 możliwych, mogą się powtarzać w każdej z opcji.

Firma chce wybrać opcję formatu, której liczba możliwych odrębnych haseł jest większa niż oczekiwana liczba klientów, ale liczba ta nie przekracza dwukrotności oczekiwanej liczby klienci.

Rozkład

Alternatywne E

Obliczając każdą z możliwości, chcemy znaleźć hasło, które ma ponad milion możliwości i mniej niż dwa miliony możliwości.

I → LDDDD

26 ·10⁵ jest większa niż dwa miliony, więc nie spełnia wymagań firmy.

II → DDDDDD

10⁶ jest równy milionowi, więc nie spełnia wymagań firmy.

III → LLDDDD

26² · 10⁴ jest większa niż dwa miliony, więc nie spełnia wymagań firmy.

IV → DDDDD

10⁵ to mniej niż milion, więc nie spełnia wymagań firmy.

V → LLLDD

26³ ·10² wynosi od jednego miliona do dwóch milionów, więc ten szablon hasła jest idealny.

Kredyt obrazu

[1] Rafael Berlandi / Shutterstock

Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm