O prikkprodukt mellom to vektorer er et reelt tall som relaterer størrelsen på disse vektorene, det vil si lengden og vinkelen mellom dem. For å beregne det er det derfor nødvendig å kjenne lengdene og vinkelen de danner.
Ved å bruke flyet som basis, indikerer en vektor en plassering, intensitet, retning og retning. Derfor brukes den i studiene av Mekanikk (fysikk) som en representant for en kraft påført et objekt.
Den vanlige representasjonen av vektoren er en pil som slutter på et punkt. Koordinatene til dette punktet sies å være koordinatene til vektoren som starter fra punkt O (0,0). Vi skriver v = (a, b) for å representere det. Dermed tegnes vektoren v = (1,2) som følger:
Vektoreksempel startende fra opprinnelsen
For å beregne lengden på denne vektoren, vurder den rette trekanten dannet av den og dens projeksjon på x-aksen (eller y-aksen), som vist i følgende figur:
Lengde på vektor v
Lengden på en vektor v kalles v vektor norm eller vektormodul v og er representert av | v |. Vær oppmerksom på at normen til vektoren v = (a, b) er nøyaktig mål på hypotenusen til trekanten som er representert i figuren ovenfor. For å beregne dette tiltaket bruker vi Pythagoras teorem:
| v |2 = den2 + b2
| v | = √ (a2 + b2 )
To vektor prikk produkt
Gitt to vektorer u og v, er det indre produktet mellom dem representert med og er definert som:
= | u || v | · cosθ
Dette er en slags multiplikasjon mellom to vektorer, men det kalles ikke et produkt, da det ikke er en vanlig multiplikasjon, siden det involverer vinkelen som dannes av disse to vektorene.
Vinkel mellom to vektorer
Det første resultatet som kommer fra definisjonen ovenfor er vinkelen mellom to vektorer. Med de reelle tallene "prikkprodukt", "u vektornorm" og "v vektornorm" er det mulig å beregne vinkelen mellom vektorene u og v. For å gjøre dette er det bare å utføre beregningene:
= | u || v | · cosθ
= cosθ
| u || v |
Ved å dele det indre produktet med normene til vektorene u og v, finner vi det virkelige tallet som refererer til cosinus mellom disse to vektorene, og derfor vinkelen mellom dem.
Merk at hvis vinkelen mellom to vektorer er rett, er cosθ lik null. Derfor vil ovennevnte produkt ha følgende resultat:
= 0
Fra dette kan det konkluderes med at gitt to vektorer u og v, vil de være ortogonale hvis = 0.
Indre produkt beregnet fra vektorkoordinater
Tatt i betraktning de to vektorene u = (a, b) og v = (c, d), blir punktproduktet mellom u og v gitt av:
= = a · c + b · d
Interne produktegenskaper
Gitt vektorene u, v og w og det reelle tallet α, merk:
Jeg) =
Dette betyr at det indre produktet av vektorer er "kommutativ".
ii) = +
Denne egenskapen er sammenlignbar med fordelingen av multiplikasjon over addisjon.
iii) = = α
Beregning av det indre produktet mellom u og v multiplisert med det reelle tallet α er det samme som å beregne det indre produktet mellom αv og u eller mellom v og αu.
iv)
Det indre produktet av v med v er bare null hvis v er nullvektoren.
v)
Det indre produktet av v med v vil alltid være større enn eller lik null.
Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm
