En ligning er en matematisk setning som har likhet og minst en ukjent, det vil si når vi har involvering av en algebraisk uttrykk og likhet. Studiet av ligninger krever forkunnskaper, for eksempel studiet av numeriske uttrykk. Formålet med en ligning er finn den ukjente verdien som gjør likhet til en identitet, det vil si en sann likhet.
Les også:Operasjoner med brøker - hvordan beregner man?
Grunnleggende konsepter for ligningsstudie
En ligning er en matematisk setning som har en ukjent, i det minste, og en likestilling, og vi kan rangere det etter antall ukjente. Se noen eksempler:
a) 5t - 9 = 16
Ligningen har et ukjent, representert ved bokstaven t.
b) 5x + 6y = 1
Ligningen har to ukjente, representert med bokstavene x og y.
c) t4 - 8z = x
Ligningen har tre ukjente, representert med bokstavene ok,z og x.
Uansett ligningen, må vi ta hensyn til din univers satt,sammensatt av alle mulige verdier som vi kan tildele det ukjente, dette settet er representert med bokstaven U.
Eksempel 1
Tenk på ligningen x + 1 = 0 og den mulige løsningen x = –1. Tenk nå at universets sett av ligningen er naturlig.
Merk at den antatte løsningen ikke tilhører universets sett, siden elementene er alle mulige verdier som det ukjente kan ta, så x = –1 er ikke løsningen på ligningen.
Jo større antall ukjente, jo vanskeligere er det å bestemme løsningen din. DE løsning eller kilde av en ligning er settet med alle verdiene som, når de blir tildelt det ukjente, gjør likheten sann.
Eksempel 2
Vurder ligningen med ukjent 5x - 9 = 16, sjekk at x = 5 er løsningen eller roten til ligningen.
Slik at det er mulig å si det x = 5 er løsningen på ligningen, må vi erstatte den verdien i uttrykket. Hvis vi finner en sann likhet, vil tallet være den testede løsningen.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Se at likheten som er funnet er sann, så vi har en identitet og tallet 5 er en løsning. Så vi kan si at løsningssettet er gitt av:
S = {5}
Eksempel 3
Tenk på ligning t2 = 4 og sjekk om t = 2 eller t = –2 er løsninger på ligningen.
Analogt, bør vi erstatte verdien av t i ligningen, men vær oppmerksom på at vi har to verdier for det ukjente, og derfor bør vi utføre verifiseringen i to trinn.
Trinn 1 - For t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Steg 2 - For t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Se for t = 2 og t = - 2 vi finner en identitet, så disse to verdiene er løsninger på ligningen. Dermed kan vi si at løsningen er:
S = {2, –2}
Ligningstyper
Vi kan også klassifisere en ligning om posisjonen som ukjente inntar. Se hovedtypene:
Polynomiske ligninger
På polynomiske ligninger er preget av å ha et polynom som er lik null. Se noen eksempler:
De) 6t3+ 5t2–5t = 0
Tallene6, 5 og –5 er koeffisientene til ligningen.
B) 9x – 9= 0
Tallene 9 og – 9 er koeffisientene til ligningen.
c) y2– y – 1 = 0
Tallene 1, – 1 og – 1 er koeffisientene til ligningen.
Ligningsgrader
Polynomiske ligninger kan klassifiseres etter grad. Samt polynomer, er graden av en polynomligning gitt av høyeste effekt som har en ikke-null koeffisient.
Fra de foregående eksemplene a, b og c har vi at ligningens grader er:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Polynomligning av Tredje grad
b) 9x - 9 = 0 → Polynomligning av første grad
ç) y2 - y - 1 = 0 → Polynomligning av videregående skole
Les også: kvadratisk ligningu: hvordan beregne, typer, eksempler
rasjonelle ligninger
Rasjonelle ligninger er preget av å ha sine ukjente i nevneren av en brøkdel. Se noen eksempler:
Les også: Hva er rasjonelle tall?
irrasjonelle ligninger
På irrasjonelle ligninger er preget av å ha sine ukjente inne i en nnde rot, det vil si i en radikal som har indeks n. Se noen eksempler:
eksponensielle ligninger
På eksponensielle ligninger har ukjente lokalisert i eksponenten av en styrke. Se noen eksempler:
logaritmisk ligning
På logaritmiske ligninger er preget av å ha en eller flere ukjente i noen deler av logaritme. Vi vil se at ligningen faller i noen av de tidligere tilfellene når vi bruker definisjonen av logaritmen. Se noen eksempler:
Se også: Første grads ligning med en ukjent
Hvordan løse en ligning?
For å løse en ligning må vi studere metoder brukt i hver type, det vil si for hver type ligning, det er en annen metode for å bestemme de mulige røttene. Imidlertid er alle disse metodene avledet fra ekvivalensprinsippet, med det er det mulig å løse hovedtyper av ligninger.
Likestillingsprinsipp
Det andre ekvivalensprinsippet, vi kan fritt operere på den ene siden av likestillingen så lenge vi gjør det samme på den andre siden av likestillingen. For å forbedre forståelsen vil vi nevne disse sidene.
Derfor sier ekvivalensprinsippet at det er mulig operere på første lem fritt så lenge som samme operasjon gjøres på det andre medlemmet.
For å verifisere ekvivalensprinsippet, bør du vurdere følgende likhet:
5 = 5
La oss gå nå å legge til på begge sider tallet 7, og legg merke til at likheten fortsatt vil være sant:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
La oss gå nå trekke fra 10 på begge sider av likheten, merk igjen at likheten fortsatt vil være sant:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
se at vi kan multiplisere eller dele og heve til en styrke eller til og med trekke ut en kilde, så lenge det er gjort på det første og andre medlemmet, vil likestillingen alltid holde seg.
For å løse en ligning, må vi bruke dette prinsippet sammen med kunnskapen om de nevnte operasjonene. For å lette utviklingen av ligningene, la oss utelate operasjonen som er gjort på det første medlemmet, tilsvarer å si at vi sender nummeret til det andre medlemmet, og bytter tegnet mot det motsatte.
Ideen om å bestemme løsningen på en ligning er alltid isoler det ukjente ved hjelp av ekvivalensprinsippet, Se:
Eksempel 4
Bruk ekvivalensprinsippet til å bestemme løsningssettet til ligningen 2x - 4 = 8 og vite at universalsettet er gitt av: U = ℝ.
2x - 4 = 8
For å løse en polynomligning av første grad, må vi la det ukjente i det første medlemmet være isolert. For dette tar vi tallet –4 fra det første medlemmet, og legger 4 til begge sider, siden –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Merk at å utføre denne prosessen tilsvarer å bare sende nummer 4 med motsatt tegn. Så, for å isolere det ukjente x, la oss passere tallet 2 til det andre medlemmet, siden det multipliserer x. (Husk: den omvendte funksjonen av multiplikasjon er divisjon). Det ville være det samme som å dele begge sider med 2.
Derfor er løsningssettet gitt av:
S = {6}
Eksempel 5
Løs ligning 2x + 5 = 128 vel vitende om at universmengden er gitt av U = ℝ.
For å løse den eksponensielle ligningen, la oss først bruke følgende potensering eiendom:
Dem + n = denm · ANei
Vi vil også bruke det faktum at 22 = 4 og 25 = 32.
2x + 5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Merk at det er mulig å dele begge sider med 32, det vil si passere nummer 32 til det andre medlemmet ved å dele.
Så vi må:
2x = 4
2x = 22
Den eneste verdien av x som tilfredsstiller likhet er tallet 2, så x = 2 og løsningssettet er gitt av:
S = {2}
løste øvelser
Spørsmål 1 - Vurder settuniverset U = ℕ og bestem løsningen av følgende irrasjonelle ligning:
Vedtak
For å løse denne ligningen, må vi være opptatt av å eliminere roten til det første medlemmet. Merk at for dette er det nødvendig å heve det første medlemmet til samme indeks som roten, det vil si til kuben. Etter ekvivalensprinsippet må vi også heve det andre medlemmet av likhet.
Merk at vi nå må løse en polynomligning av andre grad. La oss overføre tallet 11 til det andre medlemmet (trekk 11 fra begge sider av likheten), for å isolere det ukjente x.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Nå for å bestemme verdien av x, se at det er to verdier som tilfredsstiller likhet, x ’= 4 eller x’ ’= –4, en gang:
42 = 16
og
(–4)2 = 16
Vær imidlertid oppmerksom på i uttalelsen av spørsmålet at det gitte universumsettet er settet med naturlige tall, og tallet –4 hører ikke til det, og løsnings settet blir således gitt av:
S = {4}
spørsmål 2 - Tenk på polynomligningen x2 + 1 = 0 vel vitende om at universmengden er gitt av U = ℝ.
Vedtak
For ekvivalensprinsippet, trekk 1 fra begge medlemmene.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Merk at likhet ikke har noen løsning, siden universets sett er reelle tall, altså alle verdier som det ukjente kan anta er reelle, og det er ikke noe reelt tall som når det er kvadrat negativ.
12 = 1
og
(–1)2 = 1
Derfor har ligningen ingen løsning i settet med realer, og dermed kan vi si at løsningssettet er tomt.
S = {}
av Robson Luiz
Matematikklærer
