DE omkrets er en flat geometrisk figur dannet av forening av like store punkter, det vil si at de har samme avstand fra et fast punkt som kalles sentrum. Studien av omkretsen er også til stede i analytisk geometri, der det er mulig å utlede en ligning som representerer den.
Selv om sirkel og omkrets er flate geometriske figurer med noen fellestrekk, noe som vanligvis fører til tvil, disse figurene presenterer viktige forskjeller, spesielt med hensyn til dimensjonalitet.
Les også: Avstand mellom to punkter - et viktig begrep med analytisk geometri
elementer i sirkelen
Legg merke til omkretsen:
Poenget Ç det heter sentrum av sirkelen, og merk at punkt A og B hører til den. Segmentet som forbinder endene av sirkelen som går gjennom sentrum, kalles diameter. På den forrige omkretsen, må vi diameteren er AB-segmentet.
Til del diameteren i to, la oss få omkretsens radius, det vil si radius (r) av en sirkel det er segmentet som slutter seg til sentrum og slutten. I dette tilfellet er radiusen CB-segmentet. Vi kan etablere et matematisk forhold mellom disse to elementene, siden diameteren er dobbelt så stor som radiusen.
d = 2 · r
Eksempel
Bestem radiusen til en sirkel som har en diameter på 40 cm.
Vi vet at diameteren er to ganger radiusen, slik:
omkrets lengde
Tenk på en sirkel som har en radius som måler r. O lengde eller omkrets av omkretsen er gitt av produktet av çkonstant pi (π) med dobbelt så stor radius.
Når vi beregner lengden eller omkretsen til en sirkel, bestemmer vi størrelsen på linjen grønt i forrige tegning, og for å gjøre dette, er det bare å erstatte radiusverdien i formelen som fortsetter til figur.
Eksempel
Bestem lengden på omkretsen med radius 5 cm.
Radiusen på sirkelen er lik 5 cm, så for å bestemme lengden på sirkelen, må vi erstatte denne verdien i formelen.
C = 2πr
C = 2 (3,14) (5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Se også: Konstruksjon av innskrevne polygoner
omkretsområde
Tenk på en sirkel med radius r. For å beregne området ditt, må vi multipliser kvadratet av radiusverdien med π.
Når vi beregner arealet til sirkelen, bestemmer vi overflatemålet, det vil si hele regionen inne i sirkelen.
- Eksempel
Bestem arealet til en sirkel som har en radius lik 4 cm.
Vi har at radiusen på omkretsen er lik 4 cm, så vi kan erstatte dette målet i formelen for området. Se:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
H = 50,24 cm2
Omkretsredusert ligning
Vi vet at en sirkel kan bygges av samling av poeng som har samme avstand fra et fast punkt kalt opprinnelse eller sentrum. Så vurder et fast punkt i Kartesisk fly O (a, b). Punktsettet - representert av P (x, y) - som har samme avstand r fra dette faste punktet, vil danne en sirkel med radius r.
Merk at punktene i formen P (x, y) alle har samme avstand fra punkt O (a, b), dvs. avstanden mellom punktene O og P er lik sirkelens radius, og dermed:
På redusert ligning, merk at tallene De og B er koordinatene til sentrum av sirkelen og det r er målingen på radiusen.
- Eksempel
Bestem koordinatene til sentrum og mål for radiusen til sirkelen som har en ligning:
a) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
Sammenligning av denne ligningen med den reduserte ligningen har vi:
(x - De)2 + (y - B)2 = r2
(x - 2)2 + (y -6)2 = 36
Se at a = 2, b = 6 og r2 = 36. Den eneste ligningen å løse er:
r2 = 36
r = 6
Derfor er koordinaten til sentrum: O (2, 6) og radiuslengden er 6.
b) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
På samme måte har vi:
(x - De)2 + (y - B)2 = r2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
Mens radiusverdien er gitt av:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + y2 = 1
(x - De)2 + (y - B)2 = r2
x2 + y2 = 1
Merk at x2 = (x + 0)2 og y2 = (y + 0)2 . Så vi må:
(x - De)2 + (y - B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Derfor er koordinaten til sentrum O (0, 0) og radien er lik 1.
Også tilgang: Hvordan finne sentrum av en sirkel?
generell ligning av sirkelen
For å bestemme den generelle ligningen til sirkelen, må vi utvikle den reduserte ligningen henne. Tenk derfor på en sirkel som har et senter ved koordinatene O (a, b) og radius r.
I utgangspunktet vil vi utvikle begrepene i kvadrat ved hjelp av bemerkelsesverdige produkter; så sender vi alle tallene til det første medlemmet; og til slutt vil vi slutte oss til begrepene med samme bokstavskoeffisient, det vil si de med de samme bokstavene. Se:
Eksempel
Bestem koordinatene til sentrum og middelradiusen til sirkelen som har en ligning:
a) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9-49 = 0
For å bestemme radiusen og koordinatene til sirkelen som har denne ligningen, må vi sammenligne den med den generelle ligningen. Se:
x2 + y2 – 2. plassx - 2by + De2 + B2 –r2 = 0
x2 + y2 – 4x - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Fra sammenligningene i grønt må vi:
2. = 4
a = 2
eller
De2 = 4
a = 2
Fra sammenligningene i rødt har vi det:
2b = 6
b = 3
eller
B2 = 9
b = 3
Dermed kan vi si at senteret har koordinat O (2, 3). Nå, når vi sammenligner verdien av r, har vi:
r2 = 49
r = 7
Derfor har sirkelens radius en lengde lik 7.
b) x2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
På en lignende måte, la oss sammenligne ligningene:
x2 + y2 – 2. plassx - 2by + De2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 –10x + 14y + 10 = 0
2. = 10
a = 5
Bestemme verdien av b:
–2b = 14
b = - 7
Legg merke til at:
De2 + b2 - r2 = 10
Siden vi kjenner verdiene til a og b, kan vi erstatte dem i formelen. Se:
De2 + b2 - r2 = 10
52 + (–7)2 - r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 - r2 = 10
- r2 = 10 – 74
(–1) - r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Derfor er koordinatene til sentrum O (5, –7) og radien har en lengde lik 8.
Forskjeller mellom omkrets og sirkel
Forskjellen mellom en sirkel og en sirkel gjelder antall dimensjoner av hvert element. Mens sirkelen har en dimensjon, har sirkelen to.
En sirkel er en region i planet dannet av punkter som er like langt fra et fast punkt som kalles opprinnelsen. Sirkelen består av alle regioner i sirkelen. Se forskjellen i bilder:
Se også:omkretslengde og sirkelareal
løste øvelser
Spørsmål 1 - En omkrets har en omkrets lik 628 cm. Bestem diameteren på denne sirkelen (adopter π = 3.14).
Vedtak
Siden omkretsen er lik 628 cm, kan vi erstatte denne verdien i uttrykket for omkretslengde.
spørsmål 2 - To sirkler er konsentriske hvis de har samme sentrum. Å vite dette, bestem området for den tomme figuren.
Vedtak
Merk at for å bestemme området i regionen i hvitt, må vi bestemme arealet til den større sirkelen og deretter det til den mindre sirkelen i blått. Vær også oppmerksom på at hvis vi fjerner den blå sirkelen, er bare regionen vi ønsker igjen, så vi må trekke disse områdene. Se:
DESTØRRE = r2
DESTØRRE = (3,14) · (9)2
DESTØRRE = (3,14) · 81
DESTØRRE = 254,34 cm2
La oss nå beregne arealet til den blå sirkelen:
DEMindre = r2
DEMindre = (3,14) · (5)2
DEMindre = (3,14) · 25
DEMindre = 78,5 cm2
Dermed blir det blanke området gitt av forskjellen mellom det større området og det mindre området.
DEHVIT = 254,34 – 78,5
DEHVIT = 175,84 cm2
av Robson Luiz
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm