Alle eksisterende tall ble skapt i henhold til menneskelige behov på tidspunktet for opprettelsen, slik det er tilfellet med naturlige tall, som ble opprettet for å telle og kontrollere "aksjer", og irrasjonelle tall, som ble etablert for å løse problemer i forhold til røtter. Det var nettopp problemene med røtter som startet kunnskapen om komplekse tall.
Den kvadratiske ligningen x2 + 4x + 5 = 0 har ingen reelle røtter. Dette betyr at det innen settet med reelle tall er umulig å finne verdier for x som tilsvarer den første termen i denne ligningen med den andre. Vi observerer dette fenomenet fra begynnelsen av Bhaskaras formel:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Når en negativ verdi er funnet for Δ, blir det umulig å fortsette med Bhaskaras formel, da det krever at √Δ (rot til delta) beregnes. Nå vet vi at √– 4 ikke kan beregnes fordi det ikke er noe reelt tall som, multiplisert med seg selv, ville resultere i - 4.
Komplekse tall ble opprettet for å dekke disse behovene. Fra opprettelsen kan √– 4 utvikles som følger:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) forstås som en ny type tall. Settet med alle disse tallene er kjent som settet med komplekse tall, og hver representant for dette nye settet er definert som følger: La A være et komplekst tall, så,
A = De + Bjeg hvor Deog B er reelle tall og i = √ (- 1)
I denne definisjonen, De Det er kjent som ekte del av A og B Det er kjent som imaginær del av A.
Egenskaper for komplekse tall
Reelle tall representerer, i sin helhet og geometrisk, en linje. Komplekse tall representerer i sin tur et helt plan. Det kartesiske planet som brukes til å representere de komplekse tallene, er kjent som Argand-Gauss-planet.
Hvert komplekst tall kan representeres på Argand-Gauss-planet som et koordinatpunkt (a, b). Avstanden fra punktet som representerer et komplekst tall til punktet (0,0) kalles modulet til det komplekse tallet., som er definert:
La A = a + bi være et komplekst tall, dets modul er | A | = a2 + b2
Komplekse tall har også et omvendt element, kalt et konjugat. Det er definert som:
La A = a + bi være et komplekst tall,
Ā = a - bi er konjugatet av dette tallet.
Eiendom 1: Produktet av et komplekst tall og dets konjugat er lik summen av kvadratene til den virkelige delen og den imaginære delen av det komplekse tallet. Matematisk:
AĀ = a2 + b2
Eksempel: Hva er produktet av A = 2 + 5i av konjugatet?
Bare gjør beregningen: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Hvis vi valgte å skrive konjugatet til A og deretter utføre multiplikasjonen AĀ, ville vi ha:
AĀ = (2 + 5i) (2-5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Det vil si at ved å bruke den foreslåtte egenskapen er det mulig å unngå en lang beregning så vel som feil under disse beregningene.
Eiendom 2: Hvis et komplekst tall A er lik konjugatet, er A et reelt tall.
La A = a + bi. Hvis A = Ā, så:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Derfor er b = 0
Derfor er det obligatorisk at hvert komplekse tall lik konjugatet også er et reelt tall.
Eiendom 3: Konjugatet av summen av to komplekse tall er lik summen av konjugatene av disse tallene., det er:
_____ _ _
A + B = A + B
Eksempel: Hva er konjugatet av summen av 7 + 9i og 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Du kan legge til først og deretter beregne konjugatet av resultatet, eller gjøre konjugatene først og deretter legge til resultatene senere.
Eiendom 4: Konjugatet av produktet mellom to komplekse tall er lik produktet av deres konjugater, dvs:
__ _ _
AB = A · B
Eksempel: Hva er produktet av konjugatene til A = 7i + 10 og B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4- 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Avhengig av behovet for øvelsen, er det mulig å multiplisere først og beregne konjugatet etterpå, eller vise konjugatene før du utfører multiplikasjonen.
Eiendom 5: Produktet av et komplekst tall A og dets konjugat er lik kvadratet til modul A, dvs:
AĀ = | A |2
Eksempel: A = 2 + 6i, deretter AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Merk at det ikke er nødvendig å finne konjugatet og utføre en multiplikasjon gjennom fordelingsegenskapen multiplikasjon over tilsetning (kjent som lite dusjhode).
Eiendom 6: Modulen til et komplekst tall er lik modulet til konjugatet. Med andre ord:
| A | = | Ā |
Eksempel: Finn modulet til konjugatet til kompleksnummeret A = 3 + 4i.
Merk at det ikke er nødvendig å finne konjugatet, da modulene er de samme.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Hvis | Ā | ble beregnet, ville den eneste endringen være a B negativt i kvadrat, noe som har et positivt resultat. Dermed vil resultatet fremdeles være roten til 25.
Eiendom 7: Hvis A og B er komplekse tall, er modulproduktet til A og B lik modulet til produktet til A og B., dvs:
| AB | = | A || B |
Eksempel: La A = 6 + 8i og B = 4 + 3i, hvor mye er | AB |?
Merk at det ikke er nødvendig å multiplisere komplekse tall før du beregner modul. Det er mulig å beregne modulus for hvert komplekst tall separat, og deretter multiplisere resultatene.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50
Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
