O Venn diagram, også kjent som et Venn-Euler-diagram, er en måte å tegne et sett på, for dette bruker vi en lukket linje som ikke har selvskjæring, og vi representerer elementene i settet inne i denne linjen. Tanken med diagrammet er å legge til rette for forståelse i grunnleggende settoperasjoner, slik som: inkludering og tilhørsforhold, forening og skjæringspunkt, forskjell og utfyllende sett.
Les også: Operasjoner mellom heltall: kjenn egenskapene
Venn diagram representasjoner
Som vist består Venn-diagrammet av en lukket (ikke sammenflettende) linje som vi "plasserer" elementene i det aktuelle settet, slik at vi kan representerer ett eller flere sett samtidig. Se eksemplene:
• Enkelt sett
Vi kan representere deg ved hjelp av en enkelt lukket linjeLa oss for eksempel representere settet A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Mellom to sett
Vi må lage to grafer som den som representerer det enkelte settet. Fra operasjoner med sett vet vi imidlertid at: gitt to sett kan de krysse hverandre eller ikke. Hvis de to settene ikke krysser hverandre, får de navnet usammenhengende sett.
Eksempel 1
Plott, ved hjelp av Venn-diagrammet, settene A = {a, b, c, d, e, f} og B = {d, e f, g, h, i}.
Merk at krysset er den delen av diagrammet som tilhører de to settene, akkurat som i definisjonen.
A ∩ B = {d, e, f}
Eksempel 2
Plott settene C = {a, b, c, d} og D = {e, f, g, h}.
Merk at skjæringspunktet mellom disse settene er tomt, da det ikke har noe element som tilhører begge deler, det vil si:
C ∩ D = {}
• Mellom tre sett
Ideen bak representasjonen ved bruk av Venn-diagrammet for tre sett ligner på representasjonen mellom to sett. I denne forstand kan sett være sammenhengende en etter en, det vil si at de ikke har noe skjæringspunkt. eller de kan være løsrevne to og to, det vil si at bare to av dem krysser hverandre; eller alle krysser hverandre.
Eksempel
Representasjon, ved hjelp av Venn-diagrammet, av sett A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} og C = {d, e, c, h}.
Se også: Viktige settnotasjoner
medlemsforhold
Medlemskapsforholdet lar oss si om et element tilhører et bestemt sett eller ikke. For dette bruker vi symbolene:
Tenk på settet A = {a, b, c, d}. Når vi analyserer det, skjønner vi det gfor eksempel ikke tilhører ham, så i Venn-diagrammet har vi:
Inkluderingsforhold
Inkluderingsforholdet lar oss si om et sett er inneholdt i et annet sett eller ikke. Når et sett er inneholdt i et annet, sier vi at det er et delmengde. For dette bruker vi symbolene:
Et eksempel på dette er forholdet mellom settet med naturlige tall og sett med hele tall. Vi vet at settet med naturlige tall er en delmengde av settet med heltall, det vil si settet med naturals er inneholdt i settet med heltall.
Operasjoner mellom sett
De grunnleggende operasjonene mellom to eller flere sett er: enhet, kryss og forskjellen mellom to sett.
• Union
Forbindelsen mellom to sett dannes ved å sammenføye elementene i hvert sett, med andre ord: alle elementene i de to settene blir vurdert. Se:
Vurder settene A = {1, 2, 3, 4} og B = {3, 4, 5, 6, 7}. Foreningen mellom dem er gitt av:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
I Venn-diagrammet skygger vi foreningsdelen, det vil si begge settene, sjekk:
• Kryss
Krysset er et nytt numerisk sett dannet av elementer som tilhører samtidig andre sett. Generelt sett er skjæringspunktet mellom sett i Venn-diagrammet gitt av den delen som er felles for de involverte grafene. Se:
Med tanke på settene A = {1, 2, 3, 4} og B = {3, 4, 5, 6, 7}, har vi at elementene som tilhører mengden A og mengden B samtidig er :
A ∩ B = {3,4}
• Forskjell mellom to sett
Tenk på to sett C og D, forskjellen mellom dem (C - D) vil være et nytt sett dannet av elementer som tilhører C og ikke tilhører D. Generelt kan vi representere denne forskjellen ved hjelp av Venn-diagrammet, som følger:
løste øvelser
Spørsmål 1 - (Ufal) I den følgende figuren er ikke-sammenhengende sett A, B og C blitt representert. Den fargede regionen representerer settet:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Løsning
Alternativ b.
Når vi husker operasjonene med sett, vet vi at skjæringspunktet mellom to sett i Venn-diagrammet er gitt av den delen som er felles for dem. Tatt i betraktning sett A, B og C og fargelegging av settkrysset A ∩ B, har vi:
Tittel: Løsningsspørsmål 1 - del 1
Merk at hvis vi fjerner elementene fra settet C, får vi den fargede delen som øvelsen krever, det vil si at vi først må markere krysset og deretter fjerne elementene fra C.
(A ∩ B) - C
spørsmål 2 - (Uerj) Barn på en skole deltok i en vaksinasjonskampanje mot infantil lammelse og meslinger. Etter kampanjen ble det funnet at 80% av barna fikk lammelsesvaksine, 90% mottok meslingervaksine, og 5% fikk ingen av dem.
Bestem prosentandelen barn på denne skolen som mottok begge vaksinene.
Løsning
Siden andelen barn som mottok begge vaksinene er ukjent, la oss først kalle det x. Husk at vi ikke må operere med% -symbolet, men skrive øvelsesprosentene i desimal- eller brøkform.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
For å finne ut det totale antallet barn som bare tok lammelsesvaksinen, trakk vi den bekreftede prosentandelen (80%) av prosentandelen av de som tok begge (x), og det samme skal gjøres for barn som bare tok vaksinen mot meslinger. Og dermed:
Når du blir med alle barna, vil prosentandelen være 100%, derfor:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Derfor hadde 75% av barna ved skolen begge vaksinene.
Av L.do Robson Luiz
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
