den trigonometriske sirkelen er en sirkel med radius 1 representert i Kartesisk fly. I den er den horisontale aksen cosinusaksen og den vertikale aksen sinusaksen. Det kan også kalles en trigonometrisk syklus.
Den brukes til å utføre studien av trigonometriske forhold. Med det er det mulig å bedre forstå de viktigste trigonometriske årsakene til vinkler større enn 180º, nemlig: sinus, cosinus og tangens.
Les også: De 4 vanligste feilene i grunnleggende trigonometri
Trinn for trinn for å bygge den trigonometriske sirkelen
For å konstruere den trigonometriske sirkelen, vi bruker to akser, en vertikal og en horisontal, som et kartesisk plan. Den horisontale aksen er kjent som cosinus akse, og den vertikale aksen er kjent som sinusaksen.
Med aksenes konstruksjon, la oss tegne grafen til en sirkel som har radius 1.
Trigonometriske forhold i sirkelen
Vi bruker sirkelen for å finne verdien av
sinus, cosinus og tangens, i henhold til vinkelverdien. å ha i vertikal akse sinusverdien og på den horisontale aksen cosinusverdien, ved å bestemme en vinkel på den trigonometriske sirkelen, er det mulig å finne verdien av sinus og cosinus ved å analysere koordinater for punktet der linjesegmentet forbinder sentrum av sirkelen og omkretsen, representert av P i bildet a Følg. Hvis vi trekker tangenslinjen til sirkelen ved punktet (1.0), kan vi også beregne tangenten til denne vinkelen analytisk i henhold til bildet:
Les også: Hva er secant, cosecant og cotangent?
Trigonometriske sirkelradianer
Vi vet at en bue kan måles ved hjelp av to forskjellige måleenheter: målet i grader og målet i radianer. Vi vet det omkretsen er 360º og at lengden på buen din er 2π:
Kvadranter i den trigonometriske sirkelen
Enten i radianer eller grader, er det mulig å definere kvadranten der en gitt lysbue er lokalisert i henhold til målingen.
Når vi analyserer syklusen, må vi:
første kvadrant: vinkler som er mellom 0 til 90 ° eller 0 og π / 2 radianer;
andre kvadrant: vinkler som er mellom 90 ° og 180 ° eller π / 2 og π radianer;
tredje kvadrant: vinkler som er mellom 180º og 270º eller π og 3 π / 2 radianer;
fjerde kvadrant: vinkler som er mellom 270 ° og 360 ° eller 3π / 2 og 2π radianer.
Les også: Planlegg egenskaper og egenskaper
Bemerkelsesverdige vinkler i den trigonometriske sirkelen
I begynnelsen av studien av trigonometri, lærte vi at de bemerkelsesverdige vinklene er vinklene på 30 °, 45 ° og 60 °, som har verdien av den kjente sinus, cosinus og tangens. På grunn av symmetrien til den trigonometriske syklusen, det er mulig å finne sinus- og cosinusverdiene for disse vinklene og de symmetriske vinklene til ham i hver av kvadrantene.
Trigonometriske sirkelsignaler
For å forstå hva som er tegnet på hver av de trigonometriske forholdene i syklusen, er det nok å analysere akseverdiene i det kartesiske planet.
La oss starte med cosinus. Siden det er den horisontale aksen, er cosinus av vinkler inkludert til høyre for den vertikale aksen positiv, og cosinus av vinkler inkludert til venstre for den vertikale aksen er negativ.
For å forstå sinustegnet til en vinkel, husk bare at den vertikale aksen er sinusaksen, så sinusen til en vinkel som er over den horisontale aksen er positiv; men hvis vinkelen er under den horisontale aksen, er sinusen til denne vinkelen negativ, som vist på følgende bilde:
Vi vet det tangenten er forholdet mellom sinus og cosinusfor å finne tegnet på tangenten for hver av kvadrantene, spiller vi tegnspillet, noe som gjør tangenten positiv i oddetallene og negativ i de jevne kvadrantene:
Les også: Hva er semi-straight, semi-plane og semi-space?
symmetri i sirkelen
Analyserer den trigonometriske syklusen, det er mulig å konstruere en måte å redusere sinus, cosinus og tangens til den første kvadranten. Denne reduksjonen betyr å finne i den første kvadranten en vinkel som er symmetrisk med en vinkel på de andre kvadranter, fordi når vi jobber med en symmetrisk vinkel, er verdien av de trigonometriske forholdene den samme, og endrer bare dens signal.
Reduksjon av en vinkel som er i 2. kvadrant til 1. kvadrant
Fra og med vinklene som er i 2. kvadrant, må vi:
Som vi vet, i 1. og 2. kvadrant er sinus positiv. Så, for å beregne reduksjonen av sinus fra 2. kvadrant til 1. kvadrant, bruker vi formelen:
sin x = sin (180º - x)
Kosinus og tangens i 2. kvadrant er negativ. For å redusere cosinus fra 2. kvadrant til 1. kvadrant, bruker vi formelen:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Eksempel:
Hva er verdien av sinus og cosinus for en vinkel på 120 °?
120 ° vinkelen er en kvadrant andre vinkelen, da den er mellom 90 ° og 180 °. For å redusere denne vinkelen til første kvadrant, beregner vi:
sin 120 ° = sin (180 ° - 120 °)
sin 120º = sin 60º
Vinkelen på 60 ° er en bemerkelsesverdig vinkel, så sinusverdien er kjent, så:
La oss nå beregne din cosinus:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Som vi kjenner cosinus på 60º, må vi:
Reduksjon av en vinkel som er i 3. kvadrant til 1. kvadrant
Som i 2. kvadrant er det symmetri mellom vinkler i 3. kvadrant og vinkler i 1. kvadrant.
Sinus og cosinus i tredje kvadrant er negative. Så, for å redusere sinus og cosinus fra tredje kvadrant til første kvadrant, bruker vi formelen:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Tangensen i 3. kvadrant er positiv. For å redusere det bruker vi formelen:
tg x = tg (x - 180º)
Eksempel:
Beregn sinus, cosinus og tangens på 225º.
sin 225º = - sin (225º - 180º)
sin 225º = - sin 45º
Ettersom 45º er en bemerkelsesverdig vinkel, må vi:
Nå, når vi beregner cosinus, må vi:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Vi vet at tg45º = 1, så:
tg 225º = 1
Reduksjon av en vinkel som er i 4. kvadrant til 1. kvadrant
Med samme resonnement som de tidligere reduksjonene, er det en symmetri mellom 4. og 1. kvadrant:
Sinus- og tangensverdiene i 4. kvadrant er negative. Så, for å gjøre reduksjonen fra 4. til 1. kvadrant, bruker vi formelen:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Kosinus i 4. kvadrant er positiv. Så, for å redusere til første kvadrant, er formelen:
cos x = cos (360º - x)
Eksempel:
Beregn verdien av sinus og cosinus på 330º.
Starter med sinus:
Nå beregner du cosinus:
Les også: Hvordan beregne avstand mellom to punkter i rommet?
Trigonometriske sirkler løste øvelser
Spørsmål 1 - Under studiet av det sirkulære øyeblikket analyserte en fysiker et objekt som roterte rundt seg selv og danner en vinkel på 15.240º. Ved å analysere denne vinkelen er buen dannet av den i:
A) kvadrant I.
B) kvadrant II.
C) kvadrant III.
D) kvadrant IV.
E) på toppen av en av aksene.
Vedtak
Alternativ B.
Vi vet at hver 360 ° dette objektet har fullført en sirkel rundt seg selv. Når du utfører inndeling på 15 240 ved 360, vil vi finne hvor mange komplette svinger dette objektet har gjort rundt seg selv, men vår viktigste interesse er i resten, som representerer vinkelen det stoppet.
15.240: 360 = 42,333…
Resultatet viser at han gjorde 42 svinger rundt seg selv, men 360 · 42 = 15,120, så han la igjen en vinkel på:
15.240 – 15.120 = 120º
Vi vet at 120 ° er en kvadrant andre vinkel.
Spørsmål 2 - Vennligst bedøm følgende uttalelser:
I → Ved beregning av tg 140º vil verdien være negativ.
II → Vinkelen på 200 ° er en vinkel på 2. kvadrant.
III → Sen 130º = sin 50º.
Merk riktig alternativ:
A) Bare jeg er falsk.
B) Bare II er falsk.
C) Bare III er falsk.
D) Alt er sant.
Vedtak
Alternativ B.
Jeg → Sant, siden 140 ° vinkelen tilhører 2. kvadrant, der tangenten alltid er negativ.
II → False, ettersom 200º-vinkelen er en vinkel på 3. kvadrant.
III → Sant, for å redusere en vinkel fra 2. til 1. kvadrant, beregn bare forskjellen på 180 ° - x, så:
sin 130 ° = sin (180 ° - 130 °)
synd 130 = synd 50
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm
