Hva er permutasjon?

Permutasjon er et av emnene som er diskutert i fagområdet kombinatorisk analyse i matte. Å ha en ordnet sekvens med et "n" antall forskjellige elementer i hånden, kalles enhver annen sekvens dannet av de samme "n" omorganiserte elementene en permutasjon.

Dermed kan vi si at hvis A er en permutasjon av B, så består A og B av de samme elementene, men ordnes annerledes.

Hvor kommer permutasjoner fra?

Permutasjoner er isolerte tilfeller av Enkle ordninger. Disse er ordnet grupperinger av et sett A av elementer, slik at gruppene har færre eller like mange elementer enn sett A.

Settet A = {X, Y, Z}, {X, Y} og {Y, X} er a enkelt opplegg av elementene fra A tatt 2 til 2. Antall elementer i A er representert med bokstaven "n". O ordrenummer, eller klassenummer, er “k”. Dette tallet er antall elementer i hver enkle matrise (i tilfelle eksemplet er dette tallet 2).

Listen med alle de enkle arrangementene av de tre elementene i A tatt 3 til 3 er som følger:

XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX og YXZ

Denne listen er bare det spesielle tilfellet med ordningene som får navnet permutasjon.

Beregning av enkle ordninger

Antallet enkle ordninger for et sett A, som har Nei elementer tatt k De Åh, kan beregnes med følgende formel:

DE_{nei, ok} = Nei!
(n - k)!

Permutasjonsdefinisjon

La A være et sett med Nei distinkte elementer. Du enkle ordninger av disse elementene tatt n til n kalles enkle permutasjoner av A. For at det skal være en permutasjon, er det derfor nødvendig at ordrenummeret k være lik tallet Nei av elementer av A. Følgende beregninger resultat av dette:

Ved å ta formelen som brukes for enkle matriser og ordrenummeret k = n, vil vi ha:

Dette er formelen som brukes til å beregne antall permutasjoner av elementene i settet A, vanligvis betegnet med P_Nei. Snart:

Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)

P_Nei = A_{Nei nei} = n!

P_Nei = n!

Eksempel

Beregn antall permutasjoner for bokstavene i ordet LOVE.

Løsning:

Merk at ordet LOVE har 4 forskjellige elementer. For å beregne antall permutasjoner av dette ordet, vil vi bruke formelen ovenfor:

P_Nei = n!

P₄ = 4!

P₄ = 4·3·2·1

P₄ = 24

Derfor er det mulig å danne 24 forskjellige permutasjoner av bokstavene i ordet LOVE. Ordpermutasjoner kalles også anagrammer.

Permutasjoner med gjentatte elementer

Ethvert sett kan ha gjentatte elementer. På kombinasjonsmuligheter det settet bør vurdere gjentakelsen av disse elementene, fordi rekkefølgen de vises i spiller ingen rolle, i motsetning til rekkefølgen på de andre elementene i settet. Hvis vi bare endrer de to "A" -ene i ordet AMAR, får vi det samme ordet. Lignende ord er det ikke kombinasjonsmuligheterDerfor må denne repetisjonen trekkes fra i formelen for permutasjonene.

Å trekke alle mulige repetisjoner av elementer i ett permutasjon med gjentatte elementer, vi må gjøre følgende:

La A være et sett med Nei elementer, hvorav k elementer gjentar seg selv. Formelen for beregning av permutasjonene til A er:

P_Nei^k = Nei!
k!

Hvis sett A, med Nei elementer, besitter k repetisjoner av et element og j repetisjoner av en annen, vil beregningen skje som følger:

P_Nei^{ha ha} =  Nei!
k! · j!

Hvis et sett A, med Nei elementer, har k repetisjoner av et element, j repetisjoner av en annen,..., m repetisjoner av en annen, har formelen følgende form:

P_Nei^{k, j,..., m} =  Nei!
k! · j! ·... · M!

Eksempel

Beregn antall anagrammer for ordet ANTONIA.

Løsning:

For å løse eksemplet er det bare å beregne permutasjoner med gjentatte elementer av ordet ANTONIA. Både bokstav A og bokstav N gjentas to ganger. Se:

P₇^2,2 =  7!
2!·2!

P₇^2,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1

P₇^2,2 = 5040
4

P₇^2,2 = 1260

Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk