Trigonometriske ligninger er likheter som involverer trigonometriske funksjoner i ukjente buer. Å løse disse ligningene er en unik prosess som bruker reduksjonsteknikker til enklere ligninger. La oss dekke begrepene og definisjonene av ligninger i skjemaet cosx = a.
Trigonometriske ligninger i form cosx = α har løsninger i intervallet –1 ≤ x ≤ 1. Å bestemme verdiene på x som tilfredsstiller denne typen ligning, vil overholde følgende egenskaper: Hvis to buer har like cosinus, er de kongruente eller komplementære..
La x = α være en løsning av ligningen cos x = α. De andre mulige løsningene er buer som er kongruente til buen α eller buen - α (eller til buen 2π - α). Så: cos x = cos α. Legg merke til representasjonen i den trigonometriske syklusen:
Vi konkluderte med at:
x = α + 2kπ, med k Є Z eller x = - α + 2kπ, med k Є Z
Eksempel 1
Løs ligningen: cos x = √2 / 2.
Fra tabellen over trigonometriske forhold tilsvarer √2 / 2 en vinkel på 45º. Deretter:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180º / 4 = 45º)
Dermed har ligningen cosx = √2 / 2 som en løsning alle buene som er kongruente til buen π / 4 eller –π / 4 eller til og med 2π - π / 4 = 7π / 4. Legg merke til illustrasjonen:
Vi konkluderer med at de mulige løsningene av ligningen cos x = √2 / 2 er:
x = π / 4 + 2kπ, med k Є Z eller x = - π / 4 + 2kπ, med k Є Z
Eksempel 2
Løs ligningen: cos 3x = cos x
Når buene 3x og x er kongruente:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Når buene 3x og x er komplementære:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Løsningen av ligningen cos 3x = cos x er {x Є R / x = kπ eller x = kπ / 2, med k Є Z}.
av Mark Noah
Uteksamen i matematikk
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm