Numeriske sett er samlinger av tall som har lignende egenskaper. De ble født som et resultat av menneskets behov i en viss historisk periode. Se hva de er!
Sett med naturlige tall
Settet av Naturlige tall det var den første som ble hørt. Det ble født av det enkle behovet for å telle, så elementene er bare hele tall og ikke negative.
Sett med naturlige tall, representert av N, har følgende elementer:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Sett med heltall
Settet av hele tall det er en utvidelse av settet med naturlige tall. Den dannes ved å forbinde settet med naturlige tall med negative tall. Settet med heltall, representert av Z, har med andre ord følgende elementer:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Sett med rasjonelle tall
Settet av rasjonelle tall født av behovet for å dele mengder. Så dette er settet med tall som kan skrives som en brøkdel. Representert av Q, har settet med rasjonelle tall følgende elementer:
Q = {x ∈ Q: x = a / b, a ∈ Z og b ∈ N}
Ovennevnte definisjon leses som følger: x tilhører rasjonellene, slik at x er lik
De delt på B, med De tilhører heltallene og B tilhører naturene.Med andre ord, hvis det er en brøk eller et tall som kan skrives som en brøk, så er det et rasjonelt tall.
Tallene som kan skrives som en brøkdel er:
1 - Alle hele tall;
2 - Endelige desimaler;
3 - Periodiske tiende.
Endelige desimaler er de som har et endelig antall desimaler. Se:
1,1
2,32
4,45
Periodiske desimaler er uendelige desimaler, men de gjentar den endelige sekvensen av desimalene. Se:
2,333333...
4,45454545...
6,758975897589...
Sett med irrasjonelle tall
definisjonen av irrasjonelle tall avhenger av definisjonen av rasjonelle tall. Derfor hører alle tall som ikke tilhører settet med rasjonelle til settet med irrasjonelle tall.
På denne måten er enten et tall rasjonelt eller det er irrasjonelt. Det er ingen mulighet for et nummer å tilhøre disse to settene samtidig. På denne måten er settet med irrasjonelle tall komplementært til settet med rasjonelle tall i universet av reelle tall.
En annen måte å definere settet med irrasjonelle tall er som følger: De irrasjonelle tallene er de som Nei kan skrives i brøkform. Er de:
1 - Uendelig desimaler
2 - Røtter ikke eksakte
Uendelige desimaler er tall som har uendelige desimaler og ikke er periodiske tiende. For eksempel:
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
0,12345678910111213...
π
√2
Sett med reelle tall
Settet av reelle tall er dannet av alle tallene nevnt ovenfor. Definisjonen er gitt av foreningen mellom settet med rasjonelle tall og settet med irrasjonelle tall. Representert av R, kan dette settet skrives matematisk som følger:
R = Q U I = {Q + I}
Jeg er settet med irrasjonelle tall. På denne måten er alle tallene nevnt ovenfor også reelle tall.
Komplekse tallsett
Settet av komplekse tall det ble født av behovet for å finne ikke-reelle røtter av ligninger som er større enn eller lik 2. Når du prøver å løse x-ligningen2 + 2x + 10 = 0, for eksempel, gjennom Bhaskaras formel, vil vi ha:
x2 + 2x + 10 = 0
a = 1, b = 2 og c = 10
? = 22 – 4·1·10
? = 4 – 40
? = – 36
Hvilke andregrads ligninger har de? <0 har ingen reelle røtter. For å finne sine røtter ble settet med komplekse tall opprettet, slik at √ – 36 = √36 · (–1) = 6 · √– 1 = 6i.
Elementene i settet med komplekse tall, representert av C, er definert som følger:
z er et komplekst tall hvis z = a + bi, hvor a og b er reelle tall og i = √– 1.
Forholdet mellom numeriske sett
Noen numeriske sett er delmengder av andre. Noen av disse forholdene ble fremhevet gjennom hele teksten, men alle vil bli forklart nedenfor:
1 - Settet med naturlige tall er en delmengde av settet med heltall;
2 - Settet med heltall er en delmengde av settet med rasjonelle tall;
3 - Settet med rasjonelle tall er en delmengde av settet med reelle tall;
4 - Settet med irrasjonelle tall er en delmengde av settet med reelle tall;
5 - Settet med irrasjonelle tall og settet med rasjonelle tall har ingen elementer til felles;
6 - Settet med reelle tall er en delmengde av settet med komplekse tall.
Indirekte er det mulig å etablere andre relasjoner. Det er for eksempel mulig å si at settet med naturlige tall er en delmengde av settet med komplekse tall.
Det er også mulig å lese det motsatte av de tidligere nevnte forholdene og de indirekte forholdene som kan bygges. For å gjøre det, er det for eksempel nok å si at settet med heltall inneholder settet med naturlige tall.
Ved hjelp av mengdeteorisymbologi kan disse forholdene skrives som følger:
Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk
