Teori for polynomisk nedbrytning

Den grunnleggende teoremet om algebra for polynomiske ligninger garanterer det "hver grad polynom n≥ 1 har minst en kompleks rot ". Beviset for denne teoremet ble gjort av matematikeren Friedrich Gauss i 1799. Fra det kan vi demonstrere setning for polynom nedbrytning, som garanterer at et hvilket som helst polynom kan spaltes til førstegradsfaktorer. Ta følgende polynom p (x) av karakter n ≥ 1 og_Nei ≠ 0:

p (x) = a_Nei x^Nei + den_n-1 x^n-1 +… + The₁x¹ + den₀

Gjennom algebraens grunnleggende teori kan vi si at dette polynomet har minst en kompleks rot. u₁, slik at p (u₁) = 0. O D'Alemberts teorem til deling av polynomer sier at hvis p (u₁) = 0, deretter p (x) er delelig med (x - u₁), noe som resulterer i et kvotient hva₁(x), som er en grad polynom (n - 1), som får oss til å si:

p (x) = (x - u₁). hva₁(x)

Fra denne ligningen er det nødvendig å markere to muligheter:

Hvis u = 1 og hva₁(x) er et polynom av grad (n - 1), deretter hva₁(x) har grad 0. Som den dominerende koeffisienten på p (x) é De_Nei, hva₁(x) er et konstant polynom av typen hva₁(x)=De_Nei. Så vi har:

p (x) = (x - u₁). hva₁(x)
(x) = (x - u₁). De_Nei
p (x) = a_Nei . (x - u₁)

Men hvis u ≥ 2, deretter polynomet hva₁ har grad n - 1 ≥ 1 og den grunnleggende teoremet om algebra holder. Vi kan si at polynomet hva₁ har minst en rot Nei₂, som får oss til å si det hva₁ kan skrives som:

hva₁(x) = (x - u₂). hva₂(x)

Men hvordan p (x) = (x - u₁). hva₁(x), vi kan omskrive det som:

p (x) = (x - u₁). (x - u₂). hva₂(x)

Etter å gjenta denne prosessen vil vi ha:

p (x) = a_Nei. (x - u₁). (x - u₂)... (x - u_Nei)

Dermed kan vi konkludere med at hver polynom- eller polynomligning p (x) = 0 av karakter n≥ 1 eier nøyaktig Nei komplekse røtter.​

Eksempel: Være p (x) et polynom av grad 5, slik at dens røtter er – 1, 2, 3, – 2 og 4. Skriv dette polynomet nedbrutt i 1. grads faktorer, med tanke på dominerende koeffisient lik 1. Det må skrives i utvidet form:

hvis – 1, 2, 3, – 2 og 4 er røttene til polynomet, så produktet av forskjellene mellom x for hver av disse røttene resulterer i p (x):

p (x) = a_Nei. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)

Hvis den dominerende koeffisienten De_Nei = 1, vi har:

p (x) = 1. (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x + 1). (x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x² - x - 2). (x - 3). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x³ - 4x² + x + 6). (x + 2). (x - 4)
p (x) = (x⁴ - 2x³ - 7x² + 8x + 12). (X - 4)
p (x) = x⁵ - 6x⁴ + x³ + 36x² - 20x - 48

Av Amanda Gonçalves
Uteksamen i matematikk

Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm