Invers matrise: hva er det, hvordan finner du øvelser

Konseptet av invers matrise kommer veldig nær begrepet omvendt av et tall. La oss huske at det omvendte av et tall Nei er tallet Nei^-1, der produktet mellom de to er lik det nøytrale elementet i multiplikasjon, det vil si tallet 1. Allerede det omvendte av matrise M er matrise M^-1, der produktet M · M^-1 er lik identitetsmatrisen I_Nei, som ikke er noe annet enn det nøytrale elementet i matriksmultiplikasjon.

For at matrisen skal ha en invers, må den være kvadratisk, og i tillegg må dens determinant være forskjellig fra null, ellers vil det ikke være noen invers. For å finne den omvendte matrisen bruker vi matriksligningen.

Les også: Trekantet matrise - spesiell type kvadratmatrise

For at en matrise skal ha en invers, må den være firkantet.

identitetsmatrise

For å forstå hva den inverse matrisen er, er det først nødvendig å kjenne identitetsmatrisen. Vi kjenner som en identitetsmatrise kvadratmatrisen I_Nei der alle elementene i hoveddiagonalen er lik 1 og de andre begrepene er lik 0.

DE identitetsmatrise er det nøytrale elementet for multiplikasjon mellom matriser.

, det vil si gitt en hovedkvarter M av ordre n, produktet mellom matrise M og matrise I_Nei er lik matrise M.

M · I_Nei = M

Hvordan beregne invers matrise

For å finne den omvendte matrisen til M, er det nødvendig å løse en matrise ligning:

 M · M^-1 = Jeg_Nei

Eksempel

Finn den omvendte matrisen til M.

Siden vi ikke kjenner den omvendte matrisen, la oss representere denne matrisen algebraisk:

Vi vet at produktet mellom disse matrisene må være lik jeg₂:

La oss nå løse matriseligningen:

Det er mulig å skille problemet i to systemer av ligninger. Den første bruker den første kolonnen i matrisen M · M^-1 og den første kolonnen i identitetsmatrisen. Så vi må:

For å løse systemet, la oss isolere₂₁ i ligning II og erstatning i ligning I.

Ved å erstatte i ligning I, må vi:

Hvordan finner vi verdien av en₁₁, så finner vi verdien av a₂₁:

Å vite verdien av en₂₁ og₁₁, nå vil vi finne verdien av de andre begrepene ved å sette opp det andre systemet:

isolere₂₂ i ligning III, må vi:

3.₁₂ + 1.₂₂ = 0

De₂₂ = - 3.₁₂

Erstatter i ligning IV:

5.₁₂ + 2.₂₂ =1

5.₁₂ + 2 · (- 3.₁₂) = 1

5.₁₂ - 6.₁₂ = 1

- a₁₂ = 1 ( – 1)

De₁₂ = – 1

Å vite verdien av en₁₂, vil vi finne verdien av a₂₂ :

De₂₂ = - 3.₁₂

De₂₂ = – 3 · ( – 1)

De₂₂ = 3

Nå som vi kjenner alle vilkårene for matrisen M^-1, er det mulig å representere det:

Les også: Addisjon og subtraksjon av matriser

Inverse Matrix Properties

Det er egenskaper som skyldes å definere en invers matrise.

• 1. eiendom: det omvendte av matrisen M^-1 er lik matrise M. Inversen til en invers matrise er alltid selve matrisen, det vil si (M^-1)^-1 = M, fordi vi vet at M^-1 · M = jeg_Nei, derfor M^-1 er omvendt av M og også M er omvendt av M^-1.
• 2. eiendom: det omvendte av en identitetsmatrise er seg selv: jeg^-1 = I, fordi produktet av identitetsmatrisen i seg selv resulterer i identitetsmatrisen, det vil si jeg_Nei · JEG_Nei = Jeg_Nei.
• 3. eiendom: den omvendte av produkt av to matriserer du er lik produktet av inversene:

(M × H)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4. eiendom: en kvadratmatrise har invers hvis og bare hvis den er avgjørende faktor er forskjellig fra 0, det vil si det (M) ≠ 0.

Øvelser løst

1) Gitt matrise A og matrise B, vel vitende om at de er inverser, er verdien av x + y:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Vedtak:

Alternativ d.

Bygg ligningen:

A · B = I 

Ved den andre kolonnen, som tilsvarer vilkårene, må vi:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4y = 1 → (II)

Isolere x til I:

Skifter ut ligning II, vi må:

Når vi kjenner verdien av y, finner vi verdien av x:

La oss nå beregne x + y:

spørsmål 2

En matrise har bare en invers når determinanten er forskjellig fra 0. Ser du på matrisen nedenfor, hva er x-verdier som gjør at matrisen ikke støtter invers?

a) 0 og 1.

b) 1 og 2.

c) 2 og - 1.

d) 3 og 0.

e) - 3 og - 2.

Vedtak:

Alternativ b.

Når vi beregner determinanten til A, vil vi ha verdier der det (A) = 0.

det (A) = x · (x - 3) - 1 · (- 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

løse 2. grads ligning, Vi må:

• a = 1
• b = - 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer

Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm