Polygoner: elementer, klassifisering, nomenklatur

Polygoner er bilder flat geometri og lukket dannet av rette segmenter. Polygonene er delt inn i to grupper, konveks og ikke konveks. Når en polygon har alle sidene like, og følgelig alle vinkler intern lik, er det en polygon regelmessig. Vanlige polygoner kan navngis etter antall sider.

Se også: Konstruksjon av avgrensede polygoner

Elementer av en polygon

En polygon er en flat, lukket figur dannet av foreningen av et endelig antall rette linjestykker. Så vurder hvilken som helst polygon:

Punktene A, B, C, D, E, F, G og H er hjørner av polygonen og er dannet av møtet mellom segmentene AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH og HA, kalt sider av polygonen.

Segmentene AF, AE, AD og BG er diagonaler av polygonen. (Merk at dette er noen eksempler på diagonaler, i forrige polygon har vi flere av disse.) Diagonaler er linjesegmenter som "kobler" toppunktene til polygonet.

Nomenklatur for et polygon

Vi kan navngi polygonene i henhold til deres antall sider. Se navnet på de viktigste polygonene i tabellen nedenfor.

Antall sider (n)	Nomenklatur
3	triangel
4	firkant
5	Pentagon
6	Sekskant
7	Heptagon
8	Octagon
9	Enneagon
10	Dekagon
11	Undecagon
12	Dodecagon
15	Pentadecagon
20	Icosagon

Merk at det ikke er nødvendig å dekorere bordet, men å forstå det. Med unntak av trekanten og firkanten er orddannelsen:

Antall sider + gono

For eksempel når vi har polygonet til fem sider, husk automatisk prefikset penta pluss suffikset gono: Pentagon.

Eksempel

Bestem navnet på følgende polygon:

Antall sider på polygonen er syv, så polygonen er en heptagon.

polygon klassifisering

Polygoner er klassifisert etter mål på vinklene dine og sider. En polygon sies å være liksidig når den har kongruente sider, det vil si at alle sider er like; og det vil bli kalt ekvivalent når det har kongruente vinkler, det vil si alle like vinkler.

Hvis en polygon er ligesidig og likvinklet, vil den være a vanlig polygon.

I hver vanlig polygon har sentrum samme avstand fra sidenedet vil si at det er like langt fra sidene. Senteret til polygonet er også sentrum av sirkelen som er innskrevet i polygonet, det vil si omkrets som er "inne" i omkretsen.

Les mer: Polygonlikhet: se hva forholdene er

Summen av indre vinkler til en polygon

Vær den_Jeg en innvendig vinkel av en vanlig n-sidig polygon, vil vi representere summen av disse innvendige vinklene av S_Jeg.

Dermed er summen av de indre vinklene gitt av:

s_Jeg = (n - 2) · 180 °

For å beregne verdien av hver indre vinkel, tar du bare summen av de indre vinklene og deler med antall sider, dvs.

De_Jeg = s_Jeg
Nei

Eksempel 1

Finn summen av innvendige vinkler og deretter mål på hver innvendige vinkel på en ikosagon.

Vi vet at en ikosagon har tjue sider, så n = 20. Vi bytter ut i forholdene, og har:

s_Jeg = (n - 2) · 180 °

s_Jeg = (20 - 2) · 180°

s_Jeg = 18 · 180°

s_Jeg = 3240°

Nå, for å bestemme verdien av hver indre vinkel, er det bare å dele verdien som er funnet med antall sider:

De_Jeg = 3240°
20

De_Jeg = 162°

Eksempel 2

Summen av de indre vinklene til en vanlig polygon er 720 °, finn polygonen.

Ved å erstatte uttalelsesinformasjonen i formelen har vi:

720 ° = (n - 2) 180 °

720 ° = 180n - 360 °

180n = 720 ° + 360 °

180n = 1080 °

n = 1080°
180°

n = 6 sider

Dermed er ønsket polygon sekskanten.

Summen av polygonets utvendige vinkler

Summen av de utvendige vinklene til en polygon er alltid lik 360 °.

s_og = 360°

De_og = s_og
Nei

De_og = 360°
Nei

Polygon diagonaler

Vurder en nesidig polygon. For å bestemme antall diagonaler (d) bruker vi følgende forhold:

d = n · (n - 3)
2

Eksempel

Bestem antall diagonaler i en femkant og graf dem.

Vi vet at en femkant har fem sider, så n = 5. Ved å erstatte uttrykket, må vi:

d = 5 · (5 - 3)
2

d = 5 · 2
2

d = 5

Areal og omkrets av polygoner

O omkrets av polygoner er definert av sum fra alle sider. Arealet til en polygon beregnes ved å dele polygonen i figurer som er lettere å beregne arealet, for eksempel trekanten og firkanten.

DE_Δ = base · høyde
2

DE_torget = base · høyde

Eksempel

Bestem et matematisk uttrykk som representerer arealet til en vanlig sekskant.

Løsning:

I utgangspunktet bør du vurdere en vanlig sekskant og alle de rette linjesegmentene som forbinder polygonens sentrum til hvert toppunkt. Og dermed:

Merk at på grunn av det faktum at sekskanten er vanlig, når vi deler den, finner vi seks trekanter likeverdige sider, så sekskantarealet er seks ganger arealet til den liksidige trekanten, det vil si:

DE_sekskant = 6 · A_Δ

DE_sekskant = 6 · l² · √3
4

DE_sekskant = 3 · l² · √3
2

DE_sekskant = 3 · l²·√3
2

Les også:likesidet trekantområde

løste øvelser

Spørsmål 1 - (Enem) Et basseng er formet som en vanlig polygon hvis indre vinkel er tre og en halv ganger den ytre vinkelen. Hva er summen av polygonets innvendige vinkler hvis form er den samme som dette bassenget?

a) 1800 °

b) 1620

c) 1440 °

d) 1260 °

e) 1080 °

Løsning

Siden vi ikke vet antall sider på polygonen, la oss forestille oss bare en av toppunktene på denne polygonen.

Fra bildet kan vi se at:

De_Jeg + den_og = 180 ° (I)

Fra uttalelsen har vi at:

De_Jeg = 3,5 · a_og (II)

Ved å erstatte ligning (II) i ligning (I), må vi:

3.5 · a_og + den_og = 180°

4,5 · a_og = 180°

De_og = 180°
4,5

De_og = 40°

Vi vet imidlertid at en innvendig vinkel er divisjonen 360 ° med antall sider på polygonet. Og dermed:

De_og = 360°
Nei

40° = 360°
Nei

40n = 360 °

n = 360°
40°

n = 9

Derfor er summen av bassengets indre vinkler:

s_Jeg = (n - 2) · 180 °

s_Jeg = (9 - 2) · 180°

s_Jeg = 7 · 180°

s_Jeg = 1260°

av Robson Luiz
Matematikklærer