Sannhetstabell: hva det er, hvordan du gjør det, øvelser

Sannhetstabell er et logisk instrument som inneholder alle de logiske verdiene til en sammensatt proposisjon. Konstruksjonen av en sannhetstabell for en sammensatt proposisjon involverer de logiske verdiene til de enkle proposisjonene som komponerer den og de logiske operasjonene mellom disse proposisjonene.

Les også: Tross alt, hva er logikk?

Oppsummering av sannhetstabellen

• En sannhetstabell er et instrument som brukes i matematisk logikk for å ordne alle de logiske verdiene til en sammensatt proposisjon.

• De viktigste logiske operasjonene til sannhetstabellen er negasjon (~), konjunksjon (˄), disjunksjon (˅), betinget (→) og bibetinget (↔).

• For å konstruere en sannhetstabell for en sammensatt proposisjon, er det nødvendig å bruke sannhetstabellene for grunnleggende logiske operasjoner.

Hva er sannhetstabellen?

Ta i betraktning P Det er q enkle proposisjoner, det vil si setninger som kan tildeles en av følgende logiske verdier: sann (V) eller usann (F). Et sammensatt forslag dannet gjennom operasjoner mellom

P Det er q er også en setning som kan være sann eller usann. Den logiske verdien av denne sammensatte proposisjonen avhenger av de logiske verdiene som er tildelt P Det er q og operasjonen(e) mellom dem.

Sannhetstabellen er en tabell som presenterer alle logiske verdimuligheter for den sammensatte proposisjonen basert på de logiske verdiene til P Det er q.

I denne teksten vil vi bruke bokstaven V for å indikere den sanne logiske verdien til en proposisjon og bokstaven F for å indikere den falske logiske verdien.

Hovedforbindelsene til sannhetstabellen

Logiske koblinger (eller operatører) er symboler eller ord assosiert med operasjoner som forbinder en enkel proposisjon med en annen enkel proposisjon å lage et sammensatt forslag.

Det er fem hovedforbindelser, hvis funksjon, symbol og betydning er angitt i tabellen nedenfor.

Operasjon	Symbol	Betydning
Benektelse	~	Nei
Konjunksjon	˄	Det er
Disjunksjon	˅	eller
Betinget	→	hvis... deretter
Bibetinget	↔	hvis og bare hvis

Hvordan lese:

• ~ P - "Nei P”

• P ˄ q — “P Det er q”

• P ˅ q — “P eller q”

• P→q – "hvis P deretter q”

• P↔q — “P hvis og bare hvis q”

Observasjon: Det bibetingede er resultatet av den betingede operasjonen i begge retninger, det vil si P↔q midler P→q Det er q→P.

Hvordan fungerer sannhetstabellen?

Den første linjen i sannhetstabellen indikerer alle forslagene hvis logiske verdier vi ønsker å analysere, i tillegg til de respektive operasjonene mellom dem. Hver linje i sannhetstabellen presenterer forholdet mellom de logiske verdiene til proposisjonene i den første linjen.

For å konstruere en sannhetstabell for ethvert sammensatt forslag, er det nødvendig å kjenne sannhetstabellene for de grunnleggende operasjonene, som oppstår fra de viktigste logiske forbindelsene. La oss se hva disse sannhetstabellene er, oppnådd ved reglene for proposisjonskalkyle.

• Fornektelsessannhetstabell

Gitt et enkelt forslag P, den logiske verdien av proposisjonen ~ P er det motsatte av den logiske verdien av P. Så hvis P Det er sant ~ P er falsk; og hvis P Det er falsk ~ P det er sant.

P	~ s
V	F
F	V

• Konjunksjon sannhetstabell

Gitt forslagene P Det er q, den logiske verdien av proposisjonen P ˄ q er sant bare når begge påstandene er sanne.

P	q	fordi
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

• Disjunksjon sannhetstabell

Gitt forslagene P Det er q, den logiske verdien av proposisjonen P ˅ q er sant når minst ett av påstandene er sant.

P	q	fordi
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

• Betinget sannhetstabell

Gitt forslagene P Det er q, den logiske verdien av proposisjonen P→q er falsk når P er sant og q er usann og er sann i andre tilfeller.

P	q	p →q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

• Bibetinget sannhetstabell

Gitt forslagene P Det er q, den logiske verdien av proposisjonen P↔q er sann bare når begge påstandene er sanne eller begge er usanne.

P	q	P ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Konstruksjon av sannhetstabellen

Basert på sannhetstabellene for grunnleggende operasjoner, kan vi konstruere sannhetstabeller for ethvert sammensatt forslag. For det vi må identifisere forslagene som er involvert og utføre operasjonene i henhold til sannhetstabellene i forrige emne.

Observasjon: Antall rader i en sannhetstabell for en sammensatt proposisjon dannet av n enkle forslag er 2ⁿ.

Eksempel: Konstruer sannhetstabellen til påstanden ~ (P ˄ q).

Vi vil bruke en sannhetstabell med fire kolonner: en for proposisjonen P, en for forslaget q, en for forslaget P ˄ q, og den siste for den endelige proposisjonen, som er ~ (P ˄ q).

P

q

fordi

~ (p ˄ q)

Vi kan fylle de tre første kolonnene i denne tabellen med informasjon fra sannhetstabellen for konjunksjonsoperasjonen.

P	q	fordi	~ (p ˄ q)
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Til slutt er den fjerde kolonnen negasjonen av hver logiske verdi i den tredje kolonnen.

P	q	fordi	~ (p ˄ q)
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

Les også: Hvordan Aristoteles sin logikk fungerer

Sannhetstabelløvelser

Spørsmål 1

Bygg sannhetstabellen for proposisjonen ~ (P ˄ ~ q).

Vedtak

Vi vil bruke en sannhetstabell med fem kolonner: én for proposisjonen P, en for forslaget q, en for forslaget ~ q, en for forslaget P ˄ ~ q, og den siste for den endelige proposisjonen, ~ (P ˄ ~ q).

P

q

~q

p ˄ ~ q

~ (p ˄ ~ q)

Nå er det bare å fylle ut hver kolonne og utføre de respektive operasjonene:

P	q	~q	p ˄ ~ q	~ (p ˄ ~ q)
V	V	F	F	V
V	F	V	V	F
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V

Spørsmål 2

Konstruer sannhetstabellen til proposisjonen ~ P ˅ q → ~ q.

Vedtak

Vi vil bruke en sannhetstabell med seks kolonner: en for proposisjonen P, en for forslaget q, en for forslaget ~ P, en for forslaget ~ q, en for proposisjonen ~ P ˅ q, og den siste for den endelige proposisjonen, ~ P ˅ q → ~ q.

P

q

~ s

~q

~ p˅ q

~ p˅ q → ~q

Nå er det bare å fylle ut hver kolonne og utføre de respektive operasjonene:

P	q	~ s	~q	~ p˅ q	~ p˅ q → ~q
V	V	F	F	F	V
V	F	F	V	F	V
F	V	V	F	V	F
F	F	V	V	F	V

Kilder

ALENCAR FILHO, E. i. Introduksjon til matematisk logikk. São Paulo: Nobel, 2002.

VAZ, R. M. Formalisering av logisk resonnement basert på matematisk logikk. Dissertation (Professional Master's Degree in Mathematics) – Federal University of Mato Grosso do Sul, Três Lagoas, 2014. Tilgjengelig i https://repositorio.ufms.br/handle/123456789/2333 .

Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tabela-verdade.htm