EN rotfeste Det er en matematisk operasjon, akkurat som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og potensering. På samme måte som subtraksjon er den inverse operasjonen av addisjon og divisjon er inversen av multiplikasjon, er utstråling den inverse operasjonen av potensering. Således, for reelle positive x og y og heltall n (større enn eller lik 2), hvis x hevet til n er lik y, kan vi si at den n-te roten av y er lik x. I matematisk notasjon: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Les også:Potensering og utstråling av fraksjoner - hvordan gjøre det?
Sammendrag om roting
Rootification er en matematisk operasjon.
Utstråling og potensering er inverse operasjoner, det vil si for positive x og y, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Å beregne den n-te roten av et tall y betyr å finne tallet x slik at x hevet til n er lik y.
Å lese en rot avhenger av indeks n. Hvis n = 2, kaller vi det kvadratroten, og hvis n = 3, kaller vi det terningsroten.
I operasjoner med radikale bruker vi termer med samme indeks.
Stråling har viktige egenskaper som letter beregningen.
Video leksjon om rooting
Representasjon av en rot
For å representere en forankring, vi må vurdere de tre elementene som er involvert: radicand, index og root. Symbolet \(√\) kalles en radikal.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
I dette eksemplet, y er radikanden, n er indeksen og x er roten. Det står "nte rot av y er x". Mens x og y representerer positive reelle tall, representerer n et heltall lik eller større enn 2. Det er viktig å merke seg at for n = 2 kan indeksen utelates. Så f.eks. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Vi kan representere en utstråling ved å bruke radikanden med en brøkeksponent. Formelt sier vi at den n-te roten av \(y^m\) kan skrives som y hevet til brøkeksponenten \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Se eksemplene:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Forskjeller mellom stråling og potensering
Potensering og stråling er inverse matematiske operasjoner. Dette betyr at hvis \(x^n=y\), deretter \(\sqrt[n]{y}=x\). Det virker vanskelig? La oss se på noen eksempler.
Hvis \(3^2=9\), deretter \(\sqrt[2]{9}=3\).
Hvis \(2^3=8\), deretter \(\sqrt[3]{8}=2\).
Hvis \(5^4=625\), deretter \(\sqrt[4]{625}=5\).
Hvordan lese en rot?
For å lese en rot, vi må vurdere indeksen n. Hvis n = 2, vi kaller det kvadratroten. Hvis n = 3, kaller vi det kuberoten. For verdier på n større bruker vi nomenklaturen for ordenstall: fjerde rot (hvis n = 4), femte rot (hvis n = 5) og så videre. Se noen eksempler:
\(\sqrt[2]{9}\) – kvadratroten av 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – terningrot av 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – fjerde rot av 625.
Hvordan beregne roten av et tall?
Vi vil se nedenfor hvordan du beregner roten til et positivt reelt tall. For å beregne roten til et tall, må vi vurdere den relaterte inverse operasjonen. Det vil si at hvis vi ser etter den n-te roten av et tall y, må vi lete etter et tall x slik at \(x^n=y\).
Avhengig av verdien av y (det vil si radikanden), kan denne prosessen være enkel eller arbeidskrevende. La oss se på noen eksempler på hvordan man regner ut roten til et tall.
Eksempel 1:
Hva er kvadratroten av 144?
Vedtak:
La oss ringe nummeret vi leter etter x, dvs. \(\sqrt{144}=x\). Merk at dette betyr å lete etter et tall x slik at \(x^2=144\). La oss teste noen muligheter med naturlige tall:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
Derfor, \(\sqrt{144}=12\).
Eksempel 2:
Hva er terningsroten av 100?
Vedtak:
La oss ringe nummeret vi leter etter x, dvs. \(\sqrt[3]{100}=x\). Dette betyr at \(x^3=100\). La oss teste noen muligheter:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Merk at vi ser etter et tall som er mellom 4 og 5, som \(4^3=64\) Det er \(5^3=125\). Så la oss teste noen muligheter med tall mellom 4 og 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Som \(4,6^3 \) er et tall nær og mindre enn 100, kan vi si at 4,6 er en tilnærming til kuberoten av 100. Derfor, \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Viktig:Når roten er et rasjonelt tall, sier vi at roten er nøyaktig; ellers er ikke roten nøyaktig. I eksemplet ovenfor bestemmer vi et område mellom nøyaktige røtter der den søkte roten er funnet:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Denne strategien er veldig nyttig for å beregne tilnærminger til en rot.
Operasjoner med radikale
I operasjoner med radikale bruker vi termer med samme indeks. Med tanke på dette, les følgende informasjon nøye.
→ Addisjon og subtraksjon mellom radikaler
For å løse en addisjon eller subtraksjon mellom radikaler, må vi beregne roten til hvert radikal separat.
Eksempler:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Viktig: Det er ikke mulig å operere radikaler i addisjons- og subtraksjonsoperasjoner. Merk at for eksempel operasjonen \(\sqrt4+\sqrt9\) resulterer i et annet antall \(\sqrt{13}\), selv om \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Multiplikasjon og divisjon mellom radikaler
For å løse en multiplikasjon eller divisjon mellom radikaler kan vi beregne roten til hvert radikal separat, men vi kan også bruke utstrålingsegenskapene, som vi skal se nedenfor.
Eksempler:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Hva er egenskapene til stråling?
→ Egenskap 1 av stråling
Hvis y er et positivt tall, så er den n-te roten av \(y^n\) er lik y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Se eksempelet:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Denne egenskapen er mye brukt for å forenkle uttrykk med radikaler.
→ Egenskap 2 av stråling
Den n-te roten til produktet \(y⋅z\) er lik produktet av de n-te røttene av y og z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Se eksempelet:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Viktig: Når vi beregner roten av et stort tall, er det veldig nyttig faktor (dekomponerer) radikanden til primtall og bruk egenskapene 1 og 2. Se følgende eksempel, der vi ønsker å beregne \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Som dette,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Eiendom 3av rotfeste
Den n-te roten av kvotienten \(\frac{y}z\), med \(z≠0\), er lik kvotienten av de n-te røttene til y og z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Se eksempelet:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Egenskap 4 av stråling
Den n-te roten av y hevet til en eksponent m er lik den n-te roten av \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Se eksempelet:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Se også: Hva er egenskapene til potensering?
Løste øvelser om stråling
Spørsmål 1
(FGV) Forenkling \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), du får:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Vedtak:
Alternativ C.
Merk at ved å bruke strålingsegenskapene har vi
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Dermed kan vi omskrive uttrykket til utsagnet som
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Setter begrepet \(\sqrt3\) bevis, konkluderer vi med det
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Spørsmål 2
(Cefet) Med hvilket tall skal vi gange tallet 0,75 slik at kvadratroten av det oppnådde produktet er lik 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Vedtak:
Alternativ A.
Tallet som søkes er x. Derfor, ifølge uttalelsen,
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
Derfor,
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
