Det er kjent som en rasjonalt tall hvert tall som kan representeres som en irredusibel brøk. Gjennom hele menneskets historie har ideen om antall gradvis utviklet seg i samsvar med menneskelige behov. Representasjonen av tall i brøker løste for eksempel problemer som bare ble løst med hele tall.
Et rasjonelt tall kan representeres fra en brøk, så det er metoder for å transformere hele tall, desimaltall eksakte og periodiske desimaler i brøker.
Les også: Operasjoner med brøker - hvordan løse?
Hva er rasjonelle tall?
De rasjonelle tallene er en utvidelse av settet med hele tall, så, i tillegg til hele tallene, ble lagt til alle fraksjoner. O sett av de rasjonelle tallene er representert av:
Hva denne representasjonen sier er at et tall er rasjonelt hvis det kan representeres som brøkdelen De Om B, slik at De er et helt tall og B er et heltall som ikke er null. Men hvis vi skal definere rasjonelle tall mindre nøye, kan vi si følgende:
Rasjonelle tall er alle tall som kan representeres som en brøkdel. |
Oppfylle denne definisjonen:
du heltalls, for eksempel: -10, 7, 0;
du eksakte desimaltall, for eksempel: 1,25; 0,1; 3,1415;
på enkle periodiske tiende, for eksempel: 1.424242…;
på sammensatte periodiske tiende, for eksempel: 1.0288888 ...
Nei er rasjonelle tall:
På ikke-periodiske tiende, for eksempel: 4,1239489201…;
På røtterikke eksakt, for eksempel:
;- DE froskJegz kvadrat av negative tall, for eksempel:
.
Observasjon: Eksistensen av ikke-rasjonelle tall får andre sett til å dukke opp, for eksempel irrasjonelle tall og komplekse tall.
Representasjon av rasjonelle tall
Å forstå at brøkdelen er en inndeling av to hele tall, for å være et rasjonelt tall, du kan representere dette tallet som en brøkdel. Derfor kan hver av tilfellene nevnt ovenfor som rasjonelle tall (heltal, eksakte desimaler og periodiske desimaler) representeres som en brøkdel.
heltall
Det er uendelige muligheter for å representere et heltall som en brøk, ettersom en brøk kan være representert i irredusibel form eller ikke.
Eksempler:
eksakte desimaler
For å gjøre et nøyaktig desimaltall til et brøkdel, teller vi antall tall i desimaldelen, det vil si etter desimaltegnet. Hvis det er et tall etter kommaet, vil vi skrive heltalsdelen pluss desimaldelen uten komma over 10. Hvis det er to tall i desimaldelen over 100, vil i praksis mengden tall i desimaldelen være antallet nuller vi har i nevneren. Se eksemplet:
periodiske tiende
Å finne brøkrepresentasjonen av en tiende er ikke alltid en enkel oppgave, det vi kaller genererer brøk. For å lette dette arbeidet ble det observert at i ligningen vi brukte for å finne generasjonsfraksjonen, var det regelmessigheter som tillot utviklingen av en praktisk metode.
Først må vi forstå at det er to typer periodiske tiende, enkle og sammensatte. En tiende er enkel hvis det i sin desimaldel bare er den delen som gjentas, det vil si perioden. En tiende er sammensatt hvis det i sin desimaldel er en ikke-periodisk del.
Eksempel:
9,323232… → enkel periodisk desimal
Heltall er lik 9.
Perioden er lik 32.
8,7151515… → sammensatt periodisk tiende
Heltall er lik 8.
Ikke-periodisk desimaldel er lik 7.
Perioden er lik 15.
Se også: Tilsvarende brøker - brøker som representerer samme mengde
→ Første tilfelle: genererer brøkdel av en enkel periodisk desimal
I det første tilfellet til slå en enkel periodisk desimal til en brøkdel ved den praktiske metoden er det bare å skrive hele delen pluss perioden uten komma i telleren. I nevneren, for hvert element i den periodiske delen, legger vi til en 9.
Eksempel:
Den genererende brøkdelen av 9.323232…, som vi har sett, har en periode lik 32, det vil si to tall i sin periode, så nevneren er 99. Heltall pluss den periodiske delen uten komma er 932, som er telleren. Så den genererende brøkdelen av denne tienden er:
→ Andre tilfelle: genererer brøkdel av en sammensatt periodisk desimal
Den periodiske sammensatte tienden er litt mer arbeidskrevende. La oss finne den genererende brøkdelen av tienden vi jobbet med i eksemplet.
8,7151515… → sammensatt periodisk desimal.
Heltall er lik 8.
Ikke-periodisk desimaldel er lik 7.
Desimaldelen av perioden er lik 15.
Telleren vil være subtraksjon 8715 - 87, det vil si forskjellen mellom tallet som går fra hele delen til den periodiske delen med den ikke-gjentatte delen av tienden.
Telleren vil være lik 8715 - 87 = 8628.
For å finne nevneren, la oss analysere desimaldelen. La oss først se på den ikke-periodiske og periodiske desimaldelen. I dette tilfellet er desimaldelen av tallet 715. La oss legge til et for hvert tall som er i den periodiske delen 9 i begynnelsen av nevneren. Siden den periodiske delen i dette tilfellet har to tall (15), vil det være to 9-er i nevneren. For hvert tall i desimaldelen som ikke er periodisk, vil vi legge til en 0 på slutten av nevneren, som vil være 990.
Snart vil den genererer brøk av tienden vil være:
Egenskaper for rasjonelle tall
Mellom to rasjonelle tall vil det alltid være et annet rasjonelt tall
Det er interessant å tenke på at denne egenskapen, som ble diskutert mye av gamle folk, ble et paradoks. Når du velger to rasjonelle tall, vil det alltid være et tall mellom dem.
Eksempel:
Mellom 1 og 2 er det 1,5; mellom 1 og 1,5 er det 1,25; mellom 1 og 1.25 er det 1.125 og så videre. Så mye som jeg velger to rasjonelle tall med veldig liten forskjell mellom dem, er det alltid mulig å finne et rasjonelt tall mellom dem. Denne egenskapen gjør umulig å definere etterfølger og forgjenger i rasjonelle tall.
De fire operasjonene på settet med rasjonelle tall er avsluttet
Vi sier at settet er stengt for sum, for eksempel hvis summen av to rasjonelle tall alltid genererer et annet rasjonelt tall som svar. Dette er hva som skjer med de fire operasjonene på Q.
DE tillegg, subtraksjon, divisjon og multiplikasjon mellom to rasjonelle tall vil alltid resultere i et rasjonelt tall. Faktisk, selv potensiering av et rasjonelt nummer vil alltid generere et rasjonelt nummer som svar.
Settet med rasjonelle tall er ikke stengt for stråling. Og dermed, msiden 2 er et rasjonelt tall, er kvadratroten av 2 a irrasjonelt nummer.
Se også: Tilsvarende brøker - brøker som representerer samme mengde
Delsett av rasjonelle tall
Vi vet hvordan delmengder eller inkluderingsrelasjon settene dannet av elementer som tilhører settet med rasjonelle tall. Det er flere mulige delmengder, som settet med hele tall eller naturlig, fordi hvert hele tall er rasjonelt, akkurat som hvert naturlige tall er rasjonelt.
Eksempel:
Sett med heltall: Z = {… -3, -2, -1, 0.1, 2, 3,…}.
Når det skjer, sier vi det Z ⸦ Q (Det lyder: Z er inneholdt i Q eller settet med hele tall er inneholdt i settet med rasjonelle tall.)
Det er noen symboler som er essensielle for å lage delmengder av Q, de er: +, - og *, som betyr henholdsvis positive, negative og ikke-null.
Eksempler:
Q * → (les: sett med rasjonelle tall som ikke er null.)
Spørsmål+ → (leser: sett med positive rasjonelle tall.)
Spørsmål- → (leser: sett med negative rasjonelle tall.)
Spørsmål*+ → (leser: sett med positive og ikke-rasjonelle tall.)
Spørsmål*- → (leser: sett med negative og ikke-rasjonale tall.)
Merk at alle disse settene er delmengder av Q, ettersom alle elementene tilhører settet med rasjonelle tall. I tillegg til settene som presenteres, kan vi jobbe med flere delmengder i Q, for eksempel settet dannet av oddetall, eller søskenbarn, eller par, til slutt, det er flere og flere muligheter for delmengder.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm