Vi vet hvordan polynom et uttrykk som indikerer den algebraiske summen av monomer som ikke er like, det vil si polynom en algebraisk uttrykk mellom monomer. Monomium er et algebraisk begrep som har en koeffisient og en bokstavelig del.
Når det er like begreper mellom polynomene, er det mulig å utføre reduksjon av vilkårene i tillegg og / eller subtraksjon av to polynomer. Det er også mulig å multiplisere to polynomer gjennom fordelingsegenskapen. Inndelingen utføres ved hjelp av tastemetoden.
Les også: Polynomligning - ligning preget av å ha et polynom lik 0
Hva er monomials?
For å forstå hva et polynom er, er det viktig å først forstå betydningen av et monomium. Et algebraisk uttrykk er kjent som et monomium når det har det tall og bokstaver og deres eksponenter atskilt bare ved multiplikasjon. Tallet er kjent som koeffisienten, og bokstavene og deres eksponenter er kjent som den bokstavelige delen.
Eksempler:
2x² → 2 er koeffisienten; x² er den bokstavelige delen.
√5ax → √5 er koeffisienten; øks er den bokstavelige delen.
b³yz² → 1 er koeffisienten; b³yz² er den bokstavelige delen.
Hva er et polynom?
Et polynom er ikke annet enn algebraisk sum av monomer, det vil si at de er flere monomier atskilt ved addisjon eller subtraksjon fra hverandre.
Eksempler:
ax² + med + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Generelt sett kan et polynom ha flere termer, det er representert algebraisk av:
DeNeixNei + den(n-1) x(n-1) +… + The2x² + a1x + a
Se også: Hva er klasser av polynomer?
grad av et polynom
For å finne graden av polynom, la oss skille den i to tilfeller, når den har en enkelt variabel og når den har flere variabler. Graden av polynom er gitt av grad av den største av monomene i begge tilfeller.
Det er ganske vanlig å jobbe med et polynom som bare har en variabel. Når det skjer, O større monomium grad som indikerer graden av polynomet er lik den største eksponenten av variabelen:
Eksempler:
Single Variable Polynomials
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → merk at variabelen er x, og den største eksponenten den har er 3, så dette er en grad 3 polynom.
b) 2y5 + 4y² - 2y + 8 → variabelen er y, og den største eksponenten er 5, så dette er et polynom av grad 5.
Når polynomet har mer enn en variabel i et monom, er det nødvendig å finne graden av dette begrepet legge til-hvis graden eksponentene til hver av variablene. Dermed er graden av polynom, i dette tilfellet, fortsatt lik graden av det største monomialet, men det er nødvendig å passe på å legge til eksponentene for variablene til hvert monomium.
Eksempler:
a) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Når vi analyserer den bokstavelige delen av hvert begrep, må vi:
xy → klasse 2 (1 + 1)
x²y³ → grad 5 (2 + 3)
y³ → klasse 3
Merk at det største begrepet har grad 5, så dette er grad 5 polynom.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analyserer den bokstavelige delen av hvert monomium:
a²b → klasse 3 (2 + 1)
ab² → grad 2 (1 + 1)
a²b² → klasse 4 (2 + 2)
Dermed har polynomet grad 4.
Legge til polynomer
Til tillegg mellom to polynomer, la oss gjennomføre reduksjon av lignende monomier. To monomier er like hvis de har like bokstavelige deler. Når dette skjer, er det mulig å forenkle polynomet.
Eksempel:
La P (x) = 2x² + 4x + 3 og Q (x) = 4x² - 2x + 4. Finn verdien av P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Finne lignende begreper (som har de samme bokstavdelene):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
La oss nå legge til lignende monomer:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polynomial subtraksjon
Subtraksjon er ikke mye forskjellig fra addisjon. Den viktige detalj er at først må vi skrive det motsatte polynomet før vi utfører forenkling av lignende begreper.
Eksempel:
Data: P (x) = 2x² + 4x + 3 og Q (x) = 4x² - 2x + 4. Beregn P (x) - Q (x).
Polynomet -Q (x) er det motsatte av Q (x), for å finne det motsatte av Q (x), snur du bare tegnet på hvert av begrepene, så vi må:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Så skal vi beregne:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Forenkling av lignende begreper har vi:
(2-4) x² + (4 + 2) x + (3-4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Polynomisk multiplikasjon
For å utføre multiplikasjonen av to polynomer bruker vi det kjente distribusjonseiendom mellom de to polynomene, som driver multiplikasjonen av monomene til det første polynomet med de andre.
Eksempel:
La P (x) = 2a² + b og Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Beregn P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Ved å bruke distribusjonseiendommen har vi:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2. plass5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Nå, hvis de eksisterer, kan vi forenkle lignende begreper:
2. plass5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Merk at de eneste lignende monomialene er uthevet i oransje, forenkler mellom dem, vi vil ha følgende polynom som svar:
2. plass5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2. plass5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Også tilgang: Hvordan gjøre algebraisk brøkmultiplikasjon?
polynomisk inndeling
utføre deling av polynomer kan være ganske arbeidskrevende, bruker vi det som kalles nøkler metode, men det er flere metoder for dette. Inndelingen av to polynomer det er bare mulig hvis skillelinjen er mindre. Ved å dele polynomet P (x) med polynomet D (x), ser vi etter et polynom Q (x), slik at:
Dermed har vi ved divisjonsalgoritmen: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → utbytte
D (x) → skillelinje
Q (x) → kvotient
R (x) → resten
Når divisjonen brukes, er polynomet P (x) delbart med polynomet D (x) hvis resten er null.
Eksempel:
La oss operere ved å dele polynomet P (x) = 15x² + 11x + 2 med polynomet D (x) = 3x + 1.
Vi vil dele:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
Første trinn: vi deler det første monomiet av utbyttet med det første av deleren:
15x²: 3x = 5x
2. trinn: vi multipliserer 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x, og trekker resultatet av P (x). For å utføre subtraksjonen er det nødvendig å invertere tegnene på multiplikasjonsresultatet og finne polynomet:
Tredje trinn: vi utfører divisjonen av den første termen av subtraksjonsresultatet med den første termen av divisoren:
6x: 3x = 2
4. trinn: så har vi (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Derfor må vi:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Les også: Briot-Ruffinis praktiske innretning - deling av polynomer
Øvelser løst
Spørsmål 1 - Hva skal verdien av m være slik at polynomet P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m har grad 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Vedtak
Alternativ A
For at P (x) skal ha grad 2, må koeffisienten til x3 være lik null, og koeffisienten til x² må være forskjellig fra null.
Så vi vil gjøre:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
På den annen side har vi den m + 3 ≠ 0.
Så, m ≠ -3.
Dermed har vi som en løsning av den første ligningen at m = 3 eller m = -3, men for den andre har vi m ≠ -3, så den eneste løsningen som gjør at P (x) har grad 2 er: m = 3.
Spørsmål 2 - (IFMA 2017) Figurens omkrets kan skrives av polynomet:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Vedtak
Alternativ D
Fra bildet, når vi analyserer gitt lengde og bredde, vet vi at omkretsen er summen av alle sider. Siden lengden og høyden er den samme, multipliserer vi bare summen av de gitte polynomene med 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer