Sum Cube og Difference Cube

Sum Cube og Difference Cube er to typer bemerkelsesverdige produkter, hvor to ledd legges til eller trekkes fra og deretter kubes, det vil si med en eksponent lik 3.

(x + y) ³ -> sum kube

(x – y) ³ -> kube av forskjell

Sumterningen kan også skrives som (x+y). (x+y). (x + y) og kuben av forskjellen som (x – y). (x – y). (x - y).

Disse produktene får navnet på bemerkelsesverdige produkter for viktigheten de har, siden de ofte vises i algebraiske beregninger.

Husk nå at i matematikk kan det samme uttrykket skrives på en annen måte, men uten å endre verdien. For eksempel kan x + 1 + 1 skrives ganske enkelt som x + 2.

Når vi skriver om et uttrykk, kan vi ofte forenkle og løse mange algebraiske problemer. La oss derfor se en annen måte å skrive kuben av summen og kuben av forskjellen på, og utvikle dem algebraisk.

sum kube

O sum kube er det bemerkelsesverdige produktet (x + y) ³, som er det samme som (x + y). (x+y). (x+y). På denne måten kan vi skrive:

(x + y) 3 = (x + y). (x+y). (x + y)

Nå, med tanke på det (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², kuben av summen kan skrives som:

(x + y) 3 = (x + y). (x² + 2xy + y²)

Multiplisere polynomet (x + y) ved (x² + 2xy + y²), kan vi se at:

(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

Ved å legge til like termer, har vi at kuben av summen er gitt av:

(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Eksempel:

Utvikle hver kube algebraisk:

a) (x + 5)²

(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³

= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125

= x³ +15x² +75x + 125

b) (1 + 2b) ³

(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³

 = 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³

= 1 + 6b + 12b² + 8b³

forskjellskube

O forskjellskube er det bemerkelsesverdige produktet (x – y) ³, som er det samme som (x – y). (x – y). (x – y). Så vi må:

(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)

Som (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², kuben av forskjellen kan skrives som:

(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)

Ved å multiplisere (x – y) med (x² – 2xy + y²), kan vi se at:

(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³

Ved å legge til like termer, har vi at kuben til forskjellen er gitt av:

(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

Eksempel:

Utvikle hver kube algebraisk:

a) (x – 2)³

(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³

= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8

= x³ – 6x² + 12x – 8

b) (2a – b) ³

(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³

= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³

= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³

Du kan også være interessert:

• Algebraisk uttrykksfaktorisering
• Algebraisk beregning som involverer monomialer
• algebraiske brøker