Sum Cube og Difference Cube er to typer bemerkelsesverdige produkter, hvor to ledd legges til eller trekkes fra og deretter kubes, det vil si med en eksponent lik 3.
(x + y) ³ -> sum kube
se mer
Studenter fra Rio de Janeiro skal konkurrere om medaljer ved OL...
Matematikkinstituttet er åpent for påmelding til OL...
(x – y) ³ -> kube av forskjell
Sumterningen kan også skrives som (x+y). (x+y). (x + y) og kuben av forskjellen som (x – y). (x – y). (x - y).
Disse produktene får navnet på bemerkelsesverdige produkter for viktigheten de har, siden de ofte vises i algebraiske beregninger.
Husk nå at i matematikk kan det samme uttrykket skrives på en annen måte, men uten å endre verdien. For eksempel kan x + 1 + 1 skrives ganske enkelt som x + 2.
Når vi skriver om et uttrykk, kan vi ofte forenkle og løse mange algebraiske problemer. La oss derfor se en annen måte å skrive kuben av summen og kuben av forskjellen på, og utvikle dem algebraisk.
sum kube
O sum kube er det bemerkelsesverdige produktet (x + y) ³, som er det samme som (x + y). (x+y). (x+y). På denne måten kan vi skrive:
(x + y) 3 = (x + y). (x+y). (x + y)
Nå, med tanke på det (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², kuben av summen kan skrives som:
(x + y) 3 = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Multiplisere polynomet (x + y) ved (x² + 2xy + y²), kan vi se at:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Ved å legge til like termer, har vi at kuben av summen er gitt av:
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Eksempel:
Utvikle hver kube algebraisk:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
forskjellskube
O forskjellskube er det bemerkelsesverdige produktet (x – y) ³, som er det samme som (x – y). (x – y). (x – y). Så vi må:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
Som (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², kuben av forskjellen kan skrives som:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Ved å multiplisere (x – y) med (x² – 2xy + y²), kan vi se at:
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Ved å legge til like termer, har vi at kuben til forskjellen er gitt av:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Eksempel:
Utvikle hver kube algebraisk:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
Du kan også være interessert:
- Algebraisk uttrykksfaktorisering
- Algebraisk beregning som involverer monomialer
- algebraiske brøker