Multiple av en rot

Ved løsning av 2. grads ligning x² - 6x + 9 = 0, vi finner to røtter lik 3. Ved å bruke dekomponeringsteorien faktoriserer vi polynomet og oppnår:
x² - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)²
I dette tilfellet sier vi at 3 er roten til multiplikasjon 2 eller dobbeltrot av ligningen.
Dermed, hvis et faktorisert polynom resulterer i følgende uttrykk:

Vi kan si det:
x = -5 er rot med multiplikasjon 3 eller trippelrot av ligningen p (x) = 0
x = -4 er rot med multiplikasjon 2 eller dobbeltrot av ligningen p (x) = 0
x = 2 er rot med mangfold 1 eller enkel rot av ligningen p (x) = 0
Generelt sier vi at r er en rot av mangfoldet n, med n ≥ 1, av ligningen p (x) = 0, hvis:

Merk at p (x) er delelig med (x - r)^m og at tilstanden q (r) ≠ 0 betyr at r ikke er en rot av q (x) og garanterer at mangfoldet av roten r ikke er større enn m.
Eksempel 1. Løs x-ligningen⁴ - 9x³ + 23x² - 3x - 36 = 0, gitt at 3 er en dobbel rot.
Løsning: Betrakt p (x) som gitt polynom. Og dermed:

Merk at q (x) oppnås ved å dele p (x) med (x - 3)

².
Ved å dele med Briot-Ruffinis praktiske innretning får vi:

Etter å ha utført delingen ser vi at koeffisientene til polynomet q (x) er 1, -3 og -4. Dermed vil q (x) = 0 være: x² - 3x - 4 = 0
La oss løse ligningen ovenfor for å bestemme de andre røttene.
x² - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 eller x = 4
Derfor er S = {-1, 3, 4}
Eksempel 2. Skriv en algebraisk ligning av minimumsgrad slik at 2 er en dobbel rot og - 1 er en enkelt rot.
Løsning: Vi må:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Eller

Av Marcelo Rigonatto
Spesialist i statistikk og matematisk modellering
Brasil skolelag

Polynomer - Matte - Brasilskolen

Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm