Algebraisk brøkforenkling

Når ordet “algebraisk” brukes for et numerisk uttrykk, betyr det at det uttrykket har minst ett ukjent, det vil si en bokstav eller et symbol som brukes til å representere et tall ukjent. Dermed a algebraisk brøkdeli sin tur er ikke noe mer enn en brøkdel som har minst en ukjent i nevner (bunnen av brøkdel). derfor forenkling av algebraiske brøker følger samme grunnlag som forenkling av numeriske brøker.

Eksempler på algebraiske brøker er:

1)

2x
4y

2)

4y² - 9x²
2y + 3x

Forenkling av algebraiske brøker

Å forenkle en algebraisk brøk følger samme grunnlag som å forenkle en numerisk brøk. Det er nødvendig å dele teller og nevner med samme nummer. Legg merke til et eksempel på brøkforenkling:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

Fraksjonen ovenfor ble forenklet med 2, deretter med 3 og deretter med 5. For å støtte prosedyren for forenkling av algebraiske brøker, vi vil omskrive den første brøkdelen ovenfor i sin faktoriserte form:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

Merk at tallene 2, 3 og 5 gjentas i teller og nevner, og at de var nøyaktig de samme tallene som brøkdelen ble forenklet av. I sammenheng med

algebraiske brøker, prosedyren er lik, som den er nødvendig for å faktorisere polynomene som er tilstede i teller og nevner. Etter det må vi vurdere om det er mulig å forenkle noen av dem.

Eksempler

1) Forenkle følgende algebraiske brøk:

4x²y³
16xy⁶

Faktor hver av de ukjente og tallene som er tilstede i brøken:

4x²y³
16xy⁶

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

Utfør nå så mange divisjoner som mulig, som du gjorde tidligere for den numeriske brøkdelen: Tallene som vises i både teller og nevner forsvinner, det vil si at de er "kutte opp". Det er også mulig å skrive at resultatet av hver av disse forenklingene er 1. Se:

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

x
2 · 2 · y · y · y

x
4y³

2) Forenkle følgende algebraiske brøk:

4y² - 9x²
2y + 3x

Merk at telleren for dette algebraisk brøkdel faller inn i et av tilfellene med bemerkelsesverdige produkter, det vil si to kvadraters forskjell. For å faktorisere det, bare skriv det om i sin fakturerte form. Etter det er det mulig å "klippe" ordene som vises i både nevner og teller som i forrige eksempel. Se:

4y² - 9x²
2y + 3x

= (2y + 3x) (2y - 3x)
2y + 3x

= 1 · (2y - 3x)

= 2y + 3x

3) Forenkle følgende algebraiske brøk:

De²(y² - 16x²)
ay + 4ax

Som tidligere gjort, faktoriser polynomene som er tilstede i teller og nevner. Etter det, utfør divisjonene som er mulige.

De²(y² - 16x²)
ay + 4ax

= De·De·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

Merk at telleren er blitt fakturert ved hjelp av to kvadraters forskjell og nevneren ble faktorisert gjennom den felles faktoren. I tillegg er begrepet a² kan skrives som produktet a · a. Til slutt, utfør så mange divisjoner som mulig. Nemlig a av a og (y + 4x) av (y + 4x):

De·De·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

= 1 · 1 · (y - 4x)

= y - 4x

Faktoriseringstilfeller er av største betydning for å forenkle algebraiske brøker. Nedenfor er oppført de viktigste tilfellene og noen sider der de finnes mer detaljert.

Faktoring av algebraiske uttrykk

Et polynom kan skrives i sin fabrikkform hvis det kan uttrykkes i en av de fire skjemaene nedenfor. Resultatene som presenteres er deres fakturerte form eller eksempler på hvordan de kan faktoriseres:

1 - Felles faktor

Hvis alle vilkårene i polynomet har et ukjent eller noe vanlig nummer, er det mulig å sette dem som bevis. For eksempel i 4x polynom² + 2x kan vi sette 2x i bevis. Resultatet blir:

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

Merk at når du utfører multiplikasjonen som er angitt på det andre medlemmet (høyre side av likheten), blir resultatet nettopp det første medlemmet (venstre side av likestillingen) på grunn av fordelingsegenskapen til multiplikasjon.

2 - Gruppering

I lys av forrige tilfelle kan et polynom som har fire termer, vurderes ved å gruppere, bli med de vanlige begrepene to og to, og senere blir faktorisert igjen hvis resultatene forlater dette mulighet. 2x + bx + 2y + av polynom kan for eksempel lages som følger:

2x + bx + 2y + av

x (2 + b) + y (2 + b)

Merk at (2 + b) gjentas i begge nye termer. Så vi kan sette det som bevis:

x (2 + b) + y (2 + b)

(2 + b) (x + y)

3 - Perfekt kvadratisk trinomial

Hver gang et polynom er et perfekt kvadratisk trinom, vil det skrives tilsvarende et av de følgende tre uttrykkene til venstre og i rødt.

x² + 2x + a² = (x + a) (x + a)

x² - 2x + a² = (x - a) (x - a)

x² - a² = (x + a) (x - a)

Høyre side er den fakturerte formen til polynomet, som kan brukes til algebraisk brøkforenkling.

4 - Summen eller forskjellen på to kuber

Når polynomet er i neste form eller kan skrives til det, vil det være en sum av to kuber.

x³ + 3x²ved + 3x² + den³ = (x + a)³

x³ - 3x²ved + 3x² - a³ = (x - a)³

Igjen er venstre side, i rødt, polynomet som kan faktureres og skrives om som uttrykkene på høyre side.

Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk

Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm