Du komplekse tall oppstå fra behovet for å løse ligninger som har negativt tallrot, som inntil da ikke var mulig å løse ved å jobbe med reelle tall. Komplekse tall kan vises på tre måter: a algebraisk form (z = a + bi), sammensatt av en reell del De og en tenkt del B; De Geometrisk form, representert i det komplekse planet også kjent som Argand-Gauss-planet; og dine trigonometrisk form, også kjent som polarformen. Basert på deres representasjon, mens vi jobber med et numerisk sett, har komplekse tall veldefinerte operasjoner: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og potensiering.
Gjennom den geometriske representasjonen i det komplekse planet definerer vi også modulen (representert ved |z|) av et komplekst tall - som er avstanden fra punktet som representerer det komplekse tallet til opprinnelsen - og hva er argumentet til et komplekst tall - som er vinkelen dannet mellom den horisontale aksen og sporet som forbinder opprinnelsen til det punktet som representerer tallet komplisert.
behov for komplekse tall
I matematikk var utvidelsen av et numerisk sett til et nytt sett gjennom historien noe ganske vanlig. Det viser seg at i løpet av det har matematikk utviklet seg, og deretter til oppfylle tidens behov, ble det lagt merke til at det var tall som ikke tilhørte det numeriske settet det refererte til. Slik var det med fremveksten av numeriske sett heltall, rasjonelle, irrasjonelle og reelle, og det var ikke annerledes når det var behov for å utvide settet med reelle tall til det for komplekse tall.
Når vi prøver å løse kvadratiske ligninger, det er ganske vanlig at vi finner kvadratrot av et negativt tall, som er umulig å løse i settet med reelle tall, derav behovet for komplekse tall. Begynnelsen på studien av disse tallene fikk bidrag fra viktige matematikere, som Giralmo Cardono, men settet ble formalisert av Gauss og Argand.
Les også: Geometrisk fremstilling av summen av komplekse tall
algebraisk form av et komplekst tall
Når vi prøver å løse en kvadratisk ligning som x² = –25, ble det ofte sagt at den ikke var løselig. Imidlertid, i et forsøk på å algebriere algebraisk representasjon, som gjør det mulig å utføre operasjoner med disse tallene, selv om du ikke kan beregne kvadratroten til et negativt tall.
For å lette løsningen på situasjoner der du jobber med kvadratrot av et negativt tall, den imaginær enhet.
Så når vi analyserer ligningen som presenteres x² = -25, har vi det:
Dermed er løsningene for ligningen -5Jeg e5Jeg.
For å definere den algebraiske formen, er brev Jeg, kjent som imaginær enhet av et komplekst tall. Et komplekst tall er representert av:
z = De + BJeg
På hva De og B er reelle tall.
De: reell del, indikert med a = Re (z);
B: imaginær del, indikert av Im (z);
Jeg: imaginær enhet.
Eksempler
De) 2 + 3Jeg
B) -1 + 4Jeg
ç) 5 – 0,2Jeg
d) -1 – 3Jeg
når virkelige delen er null, tallet er kjent som ren innbilt, for eksempel -5Jeg og 5Jeg de er rene forestillinger fordi de ikke har noen reell del.
Når den imaginære delen er null, er det komplekse tallet også et reelt tall.
Operasjoner med komplekse tall
Som alle numeriske sett, må operasjonene være veldefinertDerfor er det mulig å utføre de fire grunnleggende operasjonene av komplekse tall med tanke på den algebraiske formen som presenteres.
Legge til to komplekse tall
Å gjennomføre addisjon av to komplekse tall z1 ez2, legger vi til den virkelige delen av z1 ez2 og summen av den tenkte delen, henholdsvis.
Være:
z1 = a + bJeg
z2 = c + dJeg
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)Jeg
Eksempel 1
Realisering av summen av z1 og z2.
z1 = 2 + 3Jeg
z2 = 1 + 2Jeg
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)Jeg
z1 +z2= 3 + 5Jeg
Eksempel 2
Realisering av summen av z1 og z2.
z1 = 5 – 2Jeg
z2 = – 3 + 2Jeg
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)Jeg
z1+z2 = (5 – 3) + 0Jeg
z1 +z2= 3 + 0Jeg = 3
Se også: Geometrisk fremstilling av summen av komplekse tall
Subtraksjon av to komplekse tall
Før vi snakker om subtraksjon, må vi definere hva som er invers av et komplekst tall, det vil si z = a + bJeg. Inversen av z, representert med –z, er det komplekse tallet –z = –a –bJeg.
For å utføre subtraksjonen mellom z1og -z2, i tillegg til, vil vi gjøre subtraksjon mellom virkelige deler og mellom imaginære deler hver for seg, men det er nødvendig å forstå det -z2 det er det omvendte av et komplekst tall, noe som gjør det nødvendig å spille tegnspillet.
Eksempel 1
Gjennomføring av z1 og z2.
z1 = 2 + 3Jeg
z2 = 1 + 2Jeg
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)Jeg
z1–z2= 1 + 1Jeg = 1+ Jeg
Eksempel 2
Gjennomføring av z1 og z2.
z1= 5 – 2Jeg
z2 = – 3 + 2Jeg
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)Jeg
z1–z2= (5 + 3) + (–4)Jeg
z1 –z2= 8 + (–4)Jeg
z1 –z2= 8 –4Jeg
Imaginary Unit Powers
Før vi snakker om multiplikasjon, må vi forstå kraften til den imaginære enheten. I jakten på en metode for å beregne krefter på JegNei, er det nødvendig å innse at disse kreftene oppfører seg på en syklisk måte. La oss beregne noe for dette styrker i Jeg.
Det viser seg at de neste kreftene ikke er noe annet enn gjentakelse, merk at:
Jeg 4 = Jeg 2 · Jeg 2 = (–1) (–1) = 1
Jeg 5 = Jeg 2 · Jeg 3 = (–1) (–Jeg) = Jeg
Når vi fortsetter å beregne kreftene, vil svarene alltid være elementer i settet {1, i, –1, -Jeg}, deretter for å finne strømmen til enheten JegNei, vil vi dele n (eksponenten) med 4, og hvileav denne divisjonen (r = {0, 1, 2, 3}) blir den nye eksponenten for Jeg.
Eksempel1
Beregning av i25
Når vi deler 25 med 4, vil kvotienten være 6 og resten vil være lik 1. Så vi må:
Jeg 25 = Jeg1 = Jeg
Eksempel 2
Beregning av Jeg 403
Når vi deler 403 med 4, vil kvotienten være 100, fordi 100 · 4 = 400, og resten vil være 3, så vi må:
Jeg 403 =Jeg 3 = -Jeg
Multiplikasjon av komplekse tall
For å utføre multiplikasjonen av to komplekse tall, la oss bruke distribusjonseiendom. Være:
z1= a + bJeg
z2= c + dJeg, deretter produktet:
z1 · z2 = (a + bJeg) (c + dJeg), ved å bruke distribusjonseiendommen,
z1 · z2 = ac + annonseJeg + cbJeg + bdJeg 2, men som vi har sett, Jeg ² = -1
z1 · z2 = ac + annonseJeg + cbJeg - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)Jeg
Ved å bruke denne formelen er det mulig å finne produktet av to komplekse tall, men i a Generelt trenger det ikke å bli dekorert, siden vi bare bruker eiendommen for den aktuelle beregningen distribuerende.
Eksempel
Beregning av produktet av (2 + 3Jeg) (1 – 4Jeg):
(2+3Jeg) (1 – 4Jeg) = 2 – 8Jeg + 3Jeg– 12Jeg ², husker det i² = -1:
(2 + 3Jeg) (1 – 4Jeg) = 2 – 8Jeg + 3Jeg+ 12
(2 + 3Jeg) (1 – 4Jeg) = (2 + 12) + (– 8 + 3)Jeg
(2+3Jeg) (1 – 4Jeg) = 14 – 5Jeg
Også tilgang: Kompleks antall tillegg, subtraksjon og multiplikasjon
Kompleks nummerkonjugat
Før vi snakker om inndeling, må vi forstå hva konjugatet til et komplekst tall er. Konseptet er enkelt, for å finne konjugatet av et komplekst tall, bare å byttemos tegnet på den tenkte delen.
deling av to komplekse tall
Å gjennomføre deling av to komplekse tall, må vi multiplisere brøken med konjugatet av nevneren, slik at hva som er den virkelige delen og hva som er den imaginære delen, er godt definert.
Eksempel
Beregning av inndeling av (6 - 4Jeg): (4 + 2Jeg)
Se også: Motsatt, konjugert og likhet av komplekse tall
Kompleksplan eller Argand-Gauss-fly
Kjent som kompleks plan eller En planrgand-gauss, tillater han representasjon i geometrisk form av et komplekst tall, er denne planen en tilpasning i Kartesisk fly å representere komplekse tall. Den horisontale aksen er kjent som reell delakse Re (z), og den vertikale aksen er kjent som aksen til den imaginære delen Im (z). Så det komplekse tallet representert av a + bJeg genererer punktene i det komplekse planet dannet av det bestilte paret (a, b).
Eksempel
Representasjon av tallet 3 + 2Jeg i den geometriske formen Z (3,2).
Modul og argument for et komplekst tall
Modulen til et komplekst tall, geometrisk, er avstand fra punkt (a, b) som representerer dette tallet i det komplekse planet til opprinnelsendet vil si poenget (0,0).
Som vi kan se, | z | er hypotenusen til høyre trekantDerfor kan det beregnes ved å bruke Pythagoras teorem, så vi må:
Eksempel:
Beregning av modulen på z = 1 + 3Jeg
O Deargument av et komplekst tall, geometrisk, er vinkel dannet av den horisontale aksen og | z |
For å finne vinkelverdien, må vi:
Målet er å finne vinkelen θ = arg z.
Eksempel:
Finn argumentet for komplekse tall: z = 2 + 2Jeg:
Siden a og b er positive, vet vi at denne vinkelen er i første kvadrant, så la oss beregne | z |.
Å kjenne | z |, er det mulig å beregne sinus og cosinus.
Siden, i dette tilfellet, er a og b lik 2, så når vi beregner sinθ, vil vi finne den samme løsningen for cosinus.
Å kjenne verdiene til sinθ og cosθ, ved å gå til tabellen over bemerkelsesverdige vinkler og vite det θ tilhører den første kvadranten, så θ finnes i grader eller radianer, så vi konkluderer hva:
Trigonometrisk eller polær form
Representasjonen av det komplekse tallet i trigonometrisk form det er bare mulig etter at vi har forstått begrepet modul og argument. Basert på denne representasjonen utvikles viktige konsepter for studiet av komplekse tall på et mer avansert nivå. For å utføre den trigonometriske representasjonen, vil vi huske dens algebraiske form z = a + bi, men når vi analyserer det komplekse planet, må vi:
Ved å erstatte, i algebraisk form, verdiene til a = | z | cos θ og b = | z | sen θ, må vi:
z = a + bJeg
Med z = | z | cos θ + | z | senθ Jeg, sette | z | Som bevis kommer vi til formelen for den trigonometriske formen:
z = | z | (cos θ + Jeg · Synd θ) |
Eksempel: Skriv, i trigonometrisk form, tallet
For å skrive i trigonometrisk form trenger vi argumentet og modulen til z.
1. trinn - Beregning av | z |
Å kjenne | z |, er det mulig å finne verdien av θ ved å se tabellen over bemerkelsesverdige vinkler.
Det er nå mulig å skrive tallet z i sin trigonometriske form med vinkelen i grader eller med vinkelen målt i radianer.
Les også: Stråling av komplekse tall i trigonometrisk form
Øvelser løst
Spørsmål 1 - (UFRGS) Gitt de komplekse tallene z1 = (2, –1) og z2 = (3, x), er det kjent at produktet mellom z1 og z2 er et reelt tall. Så x er lik:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Vedtak
Alternativ D.
For at produktet skal være et reelt tall, er den imaginære delen lik null.
Ved å skrive disse tallene i algebraisk form, må vi:
z1 = 2 – 1Jeg og z2 = 3 + xJeg
z1 · Z2 = (2 – 1Jeg) (3 + xJeg)
z1 · Z2 = 6 + 2xJeg –3Jeg - xJeg ²
z1 · Z2 = 6 + 2xJeg –3jeg + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)Jeg
Siden vår interesse er at den imaginære delen er lik null, vil vi løse for 2x - 3 = 0
Spørsmål 2 - (UECE) Hvis i er det komplekse tallet hvis kvadrat er lik -1, så er verdien 5Jeg 227 + Jeg 6 – Jeg 13 det er det samme som:
De) Jeg + 1
b) 4Jeg –1
c) -6Jeg –1
d) -6Jeg
Vedtak
Alternativ C.
For å løse dette uttrykket er det nødvendig å finne resten av hvert av tallene i divisjon med 4.
227: 4 resulterer i et kvotient på 56 og en rest på 3.
Jeg 227 = Jeg 3 = –Jeg
6: 4 resulterer i kvotient 1 og resten 2.
Jeg 6 = Jeg 2 = –1
13: 4 resulterer i kvotient 3 og resten 1.
Jeg 13 = Jeg1 = Jeg
Så vi må:
5Jeg 227 + Jeg 6 – Jeg 13
5 (–Jeg) + (–1) – Jeg
–5Jeg –1 – Jeg
–6Jeg – 1
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm