DE modulær ligning er en ligning at i det første eller andre medlemmet, har vilkår i modulen. Modulen, også kjent som den absolutte verdien, er knyttet til avstanden et tall har til null. Siden vi snakker om avstand, er modulens tall alltid positiv. Å løse modulære ligningsproblemer krever bruk av moduldefinisjonen, vi deler vanligvis ligningen i to mulige tilfeller:
når det som er inne i modulen er positivt og
når det som er inne i modulen er negativt.
Les også: Hva er forskjellen mellom en funksjon og en ligning?
en reell tallmodul
For å kunne løse modulære ligningsproblemer er det nødvendig å huske modulo-definisjonen. Modulen er alltid den samme som avstand et tall har til null, og å representere modulen til et tall Nei, bruker vi den rette linjen som følger: |Nei|. For å beregne |Nei| delte vi oss i to saker:
Derfor kan vi si at |Nei| er det samme som det eget Nei når det er et positivt tall eller lik null, og i det andre tilfellet |Nei| er lik det motsatte av Nei hvis det er negativt. Husk at det motsatte av et negativt tall alltid er positivt, så |
Nei| har alltid et resultat lik et positivt tall.Eksempler:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Se også: Hvordan løse logaritmisk ligning?
Hvordan løse en modullig ligning?
For å finne løsningen på en modullig ligning, er det nødvendig å analysere hver av mulighetene, det vil si å dele, alltid i to tilfeller, hver av modulene. I tillegg til å kjenne moduldefinisjonen, for å løse modulære ligninger, det er viktig å vite hvordan man skal løse polynomiske ligninger.
Eksempel 1:
| x - 3 | = 5
For å finne løsningen på denne ligningen er det viktig å huske at det er to mulige utfall som gir |Nei| = 5, det er dem, Nei = -5, siden | -5 | = 5, og også Nei = 5, fordi | 5 | = 5. Så ved å bruke den samme ideen, må vi:
I → x - 3 = 5 eller
II → x - 3 = -5
Å løse en av ligningene separat:
Oppløsning I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Oppløsning II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Så det er to løsninger: S = {-2, 8}.
Merk at hvis x = 8, er ligningen sant fordi:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Vær også oppmerksom på at hvis x = -2, er ligningen også sant:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Eksempel 2:
| 2x + 3 | = 5
Som i eksempel 1, for å finne løsningen, er det nødvendig å dele den inn i to tilfeller, i henhold til moduldefinisjonen.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Oppløsning I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Oppløsning II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Og så sett av løsninger er: S = {1, -4}.
Eksempel 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Når vi har likheten mellom to moduler, må vi dele den i to tilfeller:
1. sak, første og andre medlem av samme tegn.
2. sak, første og andre medlem av motsatte tegn.
Oppløsning I:
Vi vil gjøre de to sidene større enn null, det vil si at vi bare fjerner modulen. Vi kan også gjøre med begge negativene, men resultatet blir det samme.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Oppløsning II:
Sider av motsatte tegn. Vi vil velge den ene siden for å være positiv og den andre for å være negativ.
Velge:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Så vi må:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Så settet med løsninger er: S = {4, -2/3}.
Også tilgang: Hva er irrasjonelle ligninger?
Øvelser løst
Spørsmål 1 - (UFJF) Antall negative løsninger for modulligningen | 5x - 6 | = x² er:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Vedtak
Alternativ E
Vi ønsker å løse modulligningen:
| 5x - 6 | = x²
Så la oss dele det i to tilfeller:
Oppløsning I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Så vi må:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Husk at deltaverdien forteller oss hvor mange løsninger den kvadratiske ligningen har:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Siden 1 er positiv, er det i dette tilfellet to virkelige løsninger.
Oppløsning II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Siden Δ er positivt også i dette tilfellet, er det to virkelige løsninger, så totalt antall virkelige løsninger er 4.
Spørsmål 2 - (PUC SP) Løsningssettet S av ligningen | 2x - 1 | = x - 1 er:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Vedtak
Alternativ A
Oppløsning I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Så vi må:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Oppløsning II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm
