EN tangent (forkortet til tg eller tan) er en trigonometrisk funksjon. For å bestemme tangenten til en vinkel kan vi bruke ulike strategier: regn ut forholdet mellom sinus og cosinus til vinkelen, hvis de er kjent; bruk en tangenttabell eller en kalkulator; beregne forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende, hvis den aktuelle vinkelen er intern (spiss) av en rettvinklet trekant, blant annet.
Les også: Hva brukes den trigonometriske sirkelen til?
oppsummering på tangent
Tangent er en trigonometrisk funksjon.
Tangensen til en indre vinkel til en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Tangensen til enhver vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus til den vinkelen.
Funksjonen \(f (x)=tg\ x\) er definert for vinkler x uttrykt i radianer, slik at cos \(cos\ x≠0\).
Grafen til tangentfunksjonen viser vertikale asymptoter for verdiene, hvor \(x= \frac{π}2+kπ\), med k hel, liksom \(x=-\frac{π}2\).
Tangentloven er et uttrykk som assosierer, i en hvilken som helst trekant, tangentene til to vinkler og sidene motsatt disse vinklene.
Tangent av en vinkel
Hvis α er en vinkel indre av en høyre trekant, tangensen til α er forholdet mellom lengden på det motsatte benet og lengden på det tilstøtende benet:
For enhver vinkel α er tangenten forholdet mellom sin α og cosinus til α, hvor \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Det skal bemerkes at hvis α er en vinkel i 1. eller 3. kvadrant, vil tangenten ha et positivt fortegn; men hvis α er en vinkel i 2. eller 4. kvadrant, vil tangenten ha negativt fortegn. Dette forholdet er et resultat av tegnregelen mellom fortegnene sinus og cosinus for hver α.
Viktig: Merk at tangenten ikke eksisterer for verdier av α hvor \(cos\ α=0\). Dette skjer for vinkler på 90°, 270°, 450°, 630° og så videre. For å representere disse vinklene på en generell måte, bruker vi radiannotasjon: \(\frac{ π}2+kπ\), med k hel.
Tangent av bemerkelsesverdige vinkler
Ved å bruke uttrykket \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), kan vi finne tangentene til bemerkelsesverdige vinkler, som er vinklene på 30°, 45° og 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Interessant: I tillegg til disse kan vi analysere tangentverdiene for vinklene 0° og 90°, som også er mye brukt. Siden sin 0° = 0, konkluderer vi med at tan 0° = 0. For 90°-vinkelen, siden cos90° = 0, eksisterer ikke tangenten.
Hvordan beregne tangenten?
For å beregne tangenten bruker vi formelen tg α=sin αcos α, som brukes til å beregne tangenten til en hvilken som helst vinkel. La oss se på noen eksempler nedenfor.
Eksempel 1
Finn tangenten til vinkelen α i den rette trekanten nedenfor.
Vedtak:
Når det gjelder vinkelen α, er siden av mål 6 den motsatte siden og siden av mål 8 er den tilstøtende siden. Som dette:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Eksempel 2
Vet det \(sin\ 35°≈0,573\) og cos\(35°≈0,819\), finn den omtrentlige verdien for 35°-tangenten.
Vedtak:
Siden tangenten til en vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus til den vinkelen, har vi:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
tangentfunksjon
Funksjonen fx=tg x er definert for vinkler x uttrykt i radianer, slik at \(cos\ x≠0\). Dette betyr at domenet til tangentfunksjonen uttrykkes ved:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Dessuten alle reelle tall er bildet av tangentfunksjonen.
→ Graf over tangentfunksjonen
Merk at grafen til tangentfunksjonen har vertikale asymptoter for verdiene der \(x= \frac{π}2+kπ\), med k hel, liksom \( x=-\frac{π}2\). For disse verdiene av x, tangenten er ikke definert (det vil si at tangenten ikke eksisterer).
Se også: Hva er domene, rekkevidde og bilde?
loven om tangenter
Tangentloven er a uttrykk som assosierer, i en triangel hvilken som helst, tangentene til to vinkler og sidene motsatt disse vinklene. Tenk for eksempel på vinklene α og β til trekanten ABC nedenfor. Legg merke til at siden CB = a er motsatt vinkelen α og at siden AC = b er motsatt vinkelen β.
Loven om tangenter sier at:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometriske forhold
Til trigonometriske forhold er de trigonometriske funksjonene jobbet på den rette trekanten. Vi tolker disse forholdstallene som forhold mellom sidene og vinklene til denne typen trekanter.
Løste øvelser på tangent
Spørsmål 1
La θ være en vinkel av andre kvadrant slik at sin\(sin\ θ≈0,978\), så tgθ er omtrentlig:
A) -4.688
B) 4.688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Vedtak
Alternativ A
hvis \(sin\ θ≈0,978\), deretter, ved å bruke den grunnleggende identiteten til trigonometri:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Siden θ er en vinkel i den andre kvadranten, er cosθ negativ, derfor:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Snart:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
spørsmål 2
Tenk på en rettvinklet trekant ABC med ben AB = 3 cm og AC = 4 cm. Tangensen til vinkel B er:
EN) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
OG) \(\frac{5}3\)
Vedtak:
Alternativ C
Ved uttalelsen, benet motsatt vinkelen \(\hat{B}\) er AC-en som måler 4 cm og benet ved siden av vinkelen \(\hat{B}\) er AB med et mål på 3 cm. Som dette:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Matte lærer
