En omtrentlig kvadratrot er en endelig representasjon av a irrasjonelt tall. I mange tilfeller, når man jobber med kvadratrøtter, et estimat med noen få desimaler er nok for våre beregninger.
Kalkulatoren er et viktig verktøy i denne prosessen. Displayet, som har begrenset plass, indikerer en god tilnærming for ikke-eksakte kvadratrøtter. Men det er også mulig å finne disse estimatene uten hjelp av en kalkulator, som vi vil se nedenfor.
Les også: Rooting – alt om den omvendte potensieringsoperasjonen
Omtrentlig kvadratrotsammendrag
En unøyaktig kvadratrot er et irrasjonelt tall.
Vi kan finne omtrentlige verdier for ikke-eksakte kvadratrøtter.
Nøyaktigheten av tilnærmingen avhenger av antall desimaler som brukes.
Tilnærmingen kan gjøres på forskjellige måter, blant annet ved hjelp av kalkulatoren.
Å finne en y-tilnærming til kvadratroten av x betyr at y² er veldig nær x, men y² er ikke lik x.
Videoleksjon om omtrentlig kvadratrot
Hvordan regner du ut den omtrentlige kvadratroten?
Det er forskjellige måter
å beregne tilnærmingen til en kvadratrot. En av dem er kalkulatoren! For eksempel når vi skriver \(\sqrt{2}\) på kalkulatoren og klikk på =, det resulterende tallet er en tilnærming. Det samme gjelder med \(\sqrt{3}\) Det er \(\sqrt{5}\), som også er ikke-eksakte kvadratrøtter, det vil si at de er irrasjonelle tall.En annen måte er å bruke eksakte røtter nær den ikke-eksakte roten som er studert. Dette lar deg sammenligne desimalrepresentasjonene og finne et område for den ikke-eksakte roten. Dermed kan vi teste noen verdier til vi finner en god tilnærming.
Det høres vanskelig ut, men ikke bekymre deg: det er en testprosess. La oss se på noen eksempler.
Eksempler
Finn en tilnærming til to desimaler for \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
innse det \(\sqrt{4}\) Det er \(\sqrt{9}\) er de nærmeste nøyaktige røttene til \(\sqrt{5}\). Husk at jo større radikanden er, desto større er kvadratrotverdien. Dermed kan vi konkludere med det
\(\sqrt{4}
\(2
Dvs, \(\sqrt5\) er et tall mellom 2 og 3.
Nå er tiden for testing: vi velger noen verdier mellom 2 og 3 og sjekker om hvert kvadrattall nærmer seg 5. (Husk at \(\sqrt5=a\) hvis \(a^2=5\)).
For enkelhets skyld, la oss starte med tall med én desimal:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Merk at vi ikke engang trenger å fortsette å analysere tall med én desimal: tallet vi leter etter er mellom 2,2 og 2,3.
\(2,2
Nå, mens vi ser etter en tilnærming med to desimaler, la oss fortsette med testene:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Igjen kan vi stoppe analysen. Tallet du leter etter er mellom 2,23 og 2,24.
\(2,23
Men og nå? Hvilken av disse verdiene med to desimaler velger vi som en tilnærming til \(\sqrt5\)? Begge er gode alternativer, men merk at den beste er den med kvadratet nærmest 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
Dvs, \(2,24^2 \) er nærmere 5 enn \(2,23^2\).
Dermed den beste tilnærmingen til to desimaler for \(\sqrt5\) é 2,24. Det skriver vi \(\sqrt5≈2,24\).
Finn en tilnærming til to desimaler for \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Vi kan starte på samme måte som i forrige eksempel, det vil si å se etter nøyaktige røtter hvis radicands er nær 20, men merk at det er mulig å redusere verdien av radicand og lette kontoer:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Legg merke til at vi utførte dekomponeringen av radicand 20 og brukte en rotegenskap.
Nå hvordan \(\sqrt20=2\sqrt5\), kan vi bruke tilnærmingen med to desimaler til \(\sqrt5\) fra forrige eksempel:
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4,48\)
Observasjon: Ettersom vi bruker et omtrentlig tall (\(\sqrt5≈2,24\)), verdien 4,48 er kanskje ikke den beste tilnærmingen med to desimaler for \(\sqrt{20}\).
Les også: Hvordan beregne terningsroten av et tall?
Forskjeller mellom omtrentlig kvadratrot og nøyaktig kvadratrot
En nøyaktig kvadratrot er a rasjonalt tall. innse det \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) Det er \(\sqrt{121}\) er eksempler på eksakte kvadratrøtter, som \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) Det er \(\sqrt{121}=11\). Videre, når vi bruker den inverse operasjonen (det vil si potensering med eksponent 2), får vi radikanden. I de tidligere eksemplene har vi \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) Det er \(11^2=121\).
En unøyaktig kvadratrot er et irrasjonelt tall (det vil si et tall med uendelige ikke-repeterende desimaler). Derfor bruker vi tilnærminger i sin desimalrepresentasjon. innse det \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) Det er \(\sqrt6\) er eksempler på ikke-eksakte røtter, fordi \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1.7320508\) Det er \(\sqrt6≈2.44949\). Videre, når vi bruker den inverse operasjonen (det vil si potensering med eksponent 2), får vi en verdi nær radikanden, men ikke lik. I de tidligere eksemplene har vi \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) Det er \(2,44949^2=6,00000126\).
Løste øvelser på omtrentlig kvadratrot
Spørsmål 1
Ordne følgende tall i stigende rekkefølge: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Vedtak
innse det \(\sqrt{150}\) er en ikke-eksakt kvadratrot og \(\sqrt{144}\) er nøyaktig (\(\sqrt{144}=12\)). Dermed trenger vi bare å identifisere posisjonen til \(\sqrt{150}\).
noter det \(13=\sqrt{169}\). Tatt i betraktning at jo større radicand, jo større verdi av kvadratroten, har vi det
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Derfor har vi ordnet tallene i stigende rekkefølge
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
spørsmål 2
Blant de følgende alternativene, som er den beste tilnærmingen med én desimal for tallet \(\sqrt{54}\)?
a) 6.8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7,8
e) 8.1
Vedtak
Alternativ C
noter det \(\sqrt{49}\) Det er \(\sqrt{64}\) er de nærmeste nøyaktige kvadratrøttene av \(\sqrt{54}\). Som \(\sqrt{49}=7\) Det er \(\sqrt{64}=8\), Vi må
\(7
La oss se noen muligheter for tilnærming med én desimal for \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Merk at det ikke er nødvendig å fortsette med testene. Blant alternativene er også 7.3 den beste tilnærmingen til én desimal for \(\sqrt{54}\).
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Matte lærer
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm