symmetrisk matrise er hovedkvarter der hvert element \(a_{ij}\) er lik elementet \(a_{ji}\) for alle verdiene av i og j. Følgelig er hver symmetrisk matrise lik transponeringen. Det er også verdt å nevne at hver symmetrisk matrise er kvadratisk og at hoveddiagonalen fungerer som en symmetriakse.
Les også:Matriseaddisjon og subtraksjon - hvordan beregner jeg?
Abstrakt om symmetrisk matrise
I en symmetrisk matrise, \(a_{ij}=a_{ji}\) for alle i og j.
Hver symmetrisk matrise er kvadratisk.
Hver symmetrisk matrise er lik dens transponering.
Elementene i en symmetrisk matrise er symmetriske om hoveddiagonalen.
Mens i den symmetriske matrisen \(a_{ij}=a_{ji}\) for alle i og j; i en antisymmetrisk matrise, \(a_{ij}=-a_{ji}\) for alle i og j.
Hva er en symmetrisk matrise?
En symmetrisk matrise er en kvadratisk matrise hvor \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) for hver i og hver j. Dette betyr at \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), og så videre, for alle mulige verdier av i og j. Husk at de mulige verdiene til i tilsvarer radene i matrisen og de mulige verdiene til j tilsvarer kolonnene i matrisen.
Eksempler på symmetriske matriser
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Eksempler på ikke-symmetriske matriser (vurder \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Viktig: Å si at en matrise ikke er symmetrisk betyr å vise det \(a_{ij}≠a_{ji}\) for i det minste noen i og j (som vi kan se ved å sammenligne de foregående eksemplene). Dette er forskjellig fra det antisymmetriske matrisekonseptet, som vi skal se senere.
Hva er egenskapene til den symmetriske matrisen?
Hver symmetrisk matrise er kvadratisk
Merk at definisjonen av en symmetrisk matrise er basert på kvadratiske matriser. Dermed har hver symmetrisk matrise samme antall rader som antall kolonner.
Hver symmetrisk matrise er lik dens transponering
Hvis A er en matrise, er dens transponert (\(A^T\)) er definert som matrisen hvis rader er kolonnene til A og hvis kolonner er radene til A. Så hvis A er en symmetrisk matrise, har vi \(A=A^T\).
I den symmetriske matrisen blir elementene "reflektert" i forhold til hoveddiagonalen
Som \(a_{ij}=a_{ji}\) i en symmetrisk matrise er elementene over hoveddiagonalen "refleksjoner" av elementene under av diagonalen (eller omvendt) i forhold til diagonalen, slik at hoveddiagonalen fungerer som en akse for symmetri.
Hva er forskjellene mellom den symmetriske matrisen og den antisymmetriske matrisen?
Hvis A er en symmetrisk matrise, da \(a_{ij}=a_{ji}\) for alle i og alle j, som vi studerte. Når det gjelder den antisymmetriske matrisen, er situasjonen annerledes. Hvis B er en antisymmetrisk matrise, da \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) for hver i og hver j.
Merk at dette resulterer i \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), det er, de viktigste diagonale elementene er null. En konsekvens av dette er at transponeringen av en antisymmetrisk matrise er lik dens motsatte, det vil si at hvis B er en antisymmetrisk matrise, så \(B^T=-B\).
Eksempler på antisymmetriske matriser
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Se også: Identitetsmatrise — matrisen der de diagonale hovedelementene er lik 1 og de resterende elementene er lik 0
Løste øvelser på symmetrisk matrise
Spørsmål 1
(Unicentro)
hvis matrisen \(\begin{bmatrise} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) er symmetrisk, så verdien av xy er:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
Vedtak:
Alternativ A
Hvis den gitte matrisen er symmetrisk, er elementene i symmetriske posisjoner like (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Derfor må vi:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Bytter ut den første ligning i den andre konkluderer vi med det \(y=3\), snart:
\(x=2\) Det er \(xy=6\)
spørsmål 2
(UFSM) Å vite at matrisen \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) er lik transponeringen, verdien av \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
Vedtak:
Alternativ C
Siden den gitte matrisen er lik dens transponering, er den en symmetrisk matrise. Dermed er elementer i symmetriske posisjoner like (\(a_{ij}=a_{ji}\)), dvs:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Ved den første ligningen, x=-6 eller x=6. Ved den tredje ligningen får vi riktig svar: x= -6. Ved den andre ligningen, y=11.
Snart:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Matte lærer
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm
