EN proporsjon gylden eller guddommelig proporsjon er en likhet forbundet med ideer om harmoni, skjønnhet og perfeksjon. Euklid av Alexandria, gresk matematiker som levde rundt 300 f.Kr. C., var en av de første tenkerne som formaliserte dette konseptet som frem til i dag fascinerer forskere fra forskjellige områder.
Grunnen til denne interessen er at det gylne snitt kan observeres på en omtrentlig måte i naturen, inkludert i frø og blader til planter og i menneskekroppen. Følgelig er det gylne snitt gjenstand for studier av forskjellige fagpersoner, som biologer, arkitekter, kunstnere og designere.
Les også: Tall pi - en av de viktigste konstantene i matematikk
Emner i denne artikkelen
- 1 - Sammendrag av det gylne snitt
- 2 - Hvordan beregne det gylne tallet?
- 3 - Golden ratio og Fibonacci-sekvensen
- 4 - Gyldent snitt og det gylne rektangelet
-
5 - Anvendelser av det gylne snitt
- Gyldent snitt i arkitektur
- Gyldent snitt i menneskekroppen
- gyldne snitt i kunsten
- Gyldent snitt i naturen
- Gyldent snitt i design
- 6 - Løste øvelser på gullsnitt
Sammendrag om det gylne snitt
Det gylne snitt er forholdet for \(a>b>0\) slik at
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Under disse forholdene er årsaken DeB kalles det gylne snitt.
Det gylne snitt er knyttet til forestillinger om balanse, renhet og perfeksjon.
Den greske bokstaven ϕ (les: fi) representerer det gylne tallet, som er konstanten fra det gylne snitt.
I Fibonacci-sekvensen nærmer kvotientene mellom hvert ledd og forgjengeren det gylne tallet.
Det gylne rektangelet er et rektangel hvis sider er i det gylne snitt.
Hva er det gyldne snitt?
Tenk på et linjestykke delt i to deler: det største av lengden De og den minste B. innse det a+b er målet for hele segmentet.
det gylne snitt er likestilling blant årsakene\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) Det er \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), dvs
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
I denne sammenhengen sier vi det De Det er B er i det gyldne snitt.
Men for hvilke verdier De Det er B har vi det gylne snitt? Det er det vi får se neste gang.
Ikke stopp nå... Det er mer etter publisiteten ;)
Hvordan beregne det gylne tallet?
Grunnen \(\frac{a}b\)(eller på samme måte, grunnen \(\frac{a+b}a\)) resulterer i en konstant kalt det gylne tallet og representert med den greske bokstaven ϕ. Dermed er det vanlig å skrive
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
For å beregne det gyldne tallet, la oss vurdere det gyldne snitt for b = 1. Dermed kan vi enkelt finne verdien av De og få ϕ fra likestilling \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Legg merke til at vi kan skrive det gylne snitt som følger ved å bruke kryssmultiplikasjonsegenskapen:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Ved å erstatte b = 1, har vi
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Bruk av Bhaskaras formel for denne andregradsligningen konkluderer vi med at den positive løsningen av De é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Som De er et mål på et segment, vil vi se bort fra den negative løsningen.
Så hvordan \(\frac{a}b=ϕ\), Den nøyaktige verdien av det gylne tallet er:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Ved å beregne kvotienten får vi Den omtrentlige verdien av det gylne tallet:
\(ϕ≈1,618033989\)
Se også: Hvordan løse matematiske operasjoner med brøker?
Golden Ratio og Fibonacci-sekvensen
EN Fibonacci-sekvensen er en liste over tall hvor hvert ledd, med utgangspunkt i den tredje, er lik summen av de to forgjengerne. La oss se på de ti første leddene i denne sekvensen:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Som vi beregner kvotienten mellom hvert begrep og dets forgjenger i Fibonacci-sekvensen, vi nærmer oss det gylne tallet ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666...\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153...\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904...\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764...\)
Gyldent snitt og det gylne rektangelet
En rektangel hvor den lengste siden De og den mindre siden B er i det gyldne snitt det kalles det gylne rektangelet. Et eksempel på et gyllent rektangel er et rektangel hvis sider måler 1 cm og \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Vite mer: Hva er direkte proporsjonale mengder?
Anvendelser av Golden Ratio
Merk at vi til nå har studert det gylne snitt bare i abstrakte matematiske sammenhenger. Deretter vil vi se noen anvendte eksempler, men forsiktighet er nødvendig: det gylne snitt er ikke presentert nøyaktig i noen av disse tilfellene. Det som finnes er analyser av ulike kontekster der det gylne tallet vises sliktilnærmet.
Gyldent snitt i arkitektur
Noen studier hevder at estimater av antall gull er observert i visse forhold mellom dimensjonene til Keopspyramiden, i Egypt, og FNs hovedkvarter i New York.
Gyldent snitt i menneskekroppen
Menneskelige kroppsmål varierer fra person til person, og det er ingen perfekt kroppstype. Men i det minste siden antikkens Hellas har det vært debatter om en matematisk ideell kropp (og totalt uoppnåelig i virkeligheten), med målinger knyttet til det gylne snitt. I denne teoretiske sammenhengen kan f.eks. forholdet mellom en persons høyde og avstanden mellom navlen og bakken vil være det gylne tallet.
gyldne snitt i kunsten
Det er forskning på verkene "The Vitruvian Man" og "Mona Lisa", av italieneren Leonardo da Vinci, som antyder bruk av gylne rektangler.
Gyldent snitt i naturen
Det finnes studier som peker på en forholdet mellom det gylne snitt og måten bladene til visse planter er fordelt på på en stilk. Dette arrangementet av blader kalles phyllotaxy.
Gyldent snitt i design
Det gylne snitt er også studert og brukt innen design som et prosjektsammensetningsverktøy.
Løste øvelser på gullsnitt
Spørsmål 1
(Enem) Et linjestykke deles i to deler i det gylne snitt når helheten er til en av delene i samme forhold som denne delen er til den andre. Denne proporsjonalitetskonstanten er vanligvis representert av den greske bokstaven ϕ, og verdien er gitt av den positive løsningen av ligningen ϕ2 = ϕ+1.
Akkurat som kraften \(ϕ^2\), kan de høyere potensene til ϕ uttrykkes i formen \(aϕ+b\), hvor a og b er positive heltall, som vist i tabellen.
styrken \(ϕ^7\), skrevet på formen aϕ+b (a og b er positive heltall), er
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Vedtak
Som \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Vi må
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Ved å bruke distributiv,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Som \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternativ.
spørsmål 2
Ranger hver påstand nedenfor om det gylne tallet som T (sant) eller F (falsk).
Jeg. Det gylne tallet ϕ er irrasjonelt.
II. Kvotientene mellom hvert ledd og dets forgjenger i Fibonacci-sekvensen nærmer seg verdien av ϕ.
III. 1,618 er avrundingen til tre desimaler av det gylne tallet ϕ.
Riktig rekkefølge, fra topp til bunn, er
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-F-F
e) F-V-V
Vedtak
Jeg. Ekte.
II. Ekte.
III. Ekte.
Alternativ A.
Kilder
FRANCISCO, S.V. fra L. Mellom fascinasjonen og virkeligheten til det gylne snitt. Dissertation (Professional Master's Degree in Mathematics in National Network) – Institute of Biosciences, Letters and Exact Sciences, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Tilgjengelig i: http://hdl.handle.net/11449/148903.
SALG, J. fra S. Det gylne snitt tilstede i naturen. Fullføring av kursarbeid (grad i matematikk), Federal Institute of Education, Science and Technology of Piauí. Piauí, 2022. Tilgjengelig i http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Matte lærer
Forstå hva det er og hvordan du beregner gjennomsnittshastighet og befolkningstetthet.
Lær hva det er og hvordan du bruker Bhaskaras formel for å løse andregradsligninger!
Forstå hva direkte proporsjonale mengder er og lær hvordan du løser problemsituasjoner som involverer denne typen forhold.
Lær her hvordan du bestemmer om to mengder eller tall er omvendt proporsjonale. Sjekk ut eksempler og øv på temaet!
Lær her hva en andel er og hvordan du beregner den. Se også hovedegenskapene og forstå hva proporsjonale mengder er.
Se her de forskjellige måtene å representere et forhold på, se også definisjonen og noen anvendelser av proporsjoner. Lær hvordan du bruker disse konseptene.
Lær å bruke den sammensatte regelen om tre for å finne ukjente verdier og problemer med tre eller fire mengder.
Kjenn regelen om tre. Forstå hva direkte og omvendt proporsjonale mengder er. Kjenn forskjellen mellom den enkle treregelen og den sammensatte regelen.
Numeriske sekvenser: Fibonacci-sekvens.
