O apotem av en polygon er et segment med endepunkter i midten av polygonet og midtpunktet på en av sidene. Dette segmentet danner en 90° vinkel med den respektive siden av polygonet.
For å beregne mål på apotem, er det nødvendig å vurdere egenskapene til den aktuelle polygonen. Avhengig av den geometriske formen er det mulig å konstruere en formel for å oppnå denne målingen. En viktig observasjon er at målet på apotemet til en regulær polygon er lik målet på radiusen til omkretsen som er innskrevet i polygonen.
Les også: Hva er halveringslinjen?
Sammendrag om apotemet
Apotemet er segmentet av en polygon som forbinder sentrum (møtepunktet for vinkelrette halveringslinjer) til midtpunktet på en av sidene.
Vinkelen mellom apotemet og den respektive siden av polygonet måler 90°.
Målet på apotemet til en vanlig polygon er lik målet på radiusen til sirkelen som er innskrevet i polygonen.
Apotemet OM til en likesidet trekant med siden l er gitt av formelen
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotemet OM av et kvadrat med siden l er gitt av formelen
\(OM = \frac{l}2\)
Apotemet OM til en vanlig sekskant på den ene siden l er gitt av formelen
\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)
Apotemet til en pyramide er segmentet som forbinder toppunktet til midtpunktet på en av kantene på basen, og dets mål kan oppnås ved Pythagoras teorem.
Eksempler på apotem
For å finne apotemet til en polygon, må vi konstruere linjestykke som forbinder midten av polygonet med midtpunktet på en av sidene. Husk at midten av en polygon er der halveringslinjene møtes.
I disse eksemplene ble apotemet vurdert i plane polygoner. Imidlertid er det et romobjekt som har en annen type apotem: pyramiden.
I en pyramide er det to typer apotem: apotemet til basen, som er apotemet til polygonet som danner basen til pyramiden, og apotemet til pyramiden, som er segment som forbinder toppunktet til midtpunktet av en basekant (det vil si at det er høyden på en sideflate av basen). pyramide).
I kvadratbaseeksemplet nedenfor er segmentet OM apotemet til basen og segmentet VM er apotemet til pyramiden, med M som midtpunktet til BC.
Hva er formlene for apotemet?
Når vi kjenner egenskapene til en polygon, spesielt vanlige polygoner, kan vi utvikle formler for beregning av apotemets mål. La oss se hva disse formlene er for de viktigste regulære polygonene.
Likesidet trekant apotem formel
På likesidet trekant tilfelle, høyden og medianen i forhold til en gitt side er de samme. Dette betyr at midten av polygonet sammenfaller med barycenter av trekanten. Dermed deler punktet O høyden AM som følger:
\(AO = \frac{2}3 AM\) Det er \(OM=\frac{1}3 AM\)
Husk at mål på høyden på en likesidet trekant l er gitt av:
\(Høyde\ trekant\ likesidet=\frac{l\sqrt3}2\)
Derfor, siden AM er høyden til den likesidede trekanten ABC og segmentet OM er trekantens apotem, kan vi utarbeide følgende uttrykk for målet på OM, med tanke på at siden av trekanten måler l:
\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)
\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)
Apotem for Square Formula
Når det gjelder torget, apotemets mål tilsvarer halve lengden på siden. Således, hvis O er sentrum av kvadratet, er M midtpunktet på en av sidene, og l er lengden på siden av kvadratet, så formelen for apotemet OM er
\(OM=\frac{l}2\)
Vanlig sekskantet apotem-formel
I den regulære sekskanten tilsvarer apotem høyden til en likesidet trekant med toppunkter i to ender av en av sidene og i midten av polygonet. I eksemplet nedenfor er apotemet OM for den regulære sekskanten høyden til den likesidede trekanten OCD, der M er midtpunktet til CD.
Som vi nevnte tidligere, er høyden til en likesidet trekant kjent. Således, hvis siden av en vanlig sekskant måler l, da er formelen for apotemet OM
\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)
Pyramide Apothem formel
Mål på pyramidens apotem kan fås med Pythagoras teorem hjelp. I eksemplet nedenfor, i en firkantet pyramide, er trekanten VOM et rektangel, med ben VO og OM og hypotenus VM. Merk at VO er høyden på pyramiden, OM er apotem av basen og VM er apotem av pyramiden.
For å bestemme målet på pyramidens apotem, må vi derfor bruke Pythagoras teorem:
\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)
Forsiktig! VM er høyden av en likebenet trekant, ikke en likesidet trekant. Så i dette tilfellet kan vi ikke bruke formelen for høyden til en likesidet trekant.
Hvordan beregnes apotemet?
For å beregne apotemet til en polygon eller pyramiden, kan vi bruke de konstruerte formlene eller assosiere apotemet med radien til den innskrevne sirkelen.
Eksempel 1: Anta at en sirkel med radius 3 cm er innskrevet i en likesidet trekant. Hva er målet for apotemet til denne trekanten?
Siden apotemet til en polygon har samme mål som radiusen til den innskrevne sirkelen, måler trekantens apotem 3 cm.
Eksempel 2: Hva er målet på apotemet til en vanlig sekskant med en side på 4 cm?
Ved hjelp av formelen for apotem av en vanlig sekskant med \(l=4\) cm, det må vi
\(Mål\ av\ apothem=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)
Les også: Alt om de bemerkelsesverdige punktene i en trekant
Løste øvelser på apotem
Spørsmål 1
Hvis en pyramide som er 4 cm høy, har en base på 3 cm, er målingen av pyramidens apotem
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
Vedtak:
I en pyramide kan vi konstruere en rettvinklet trekant der det ene benet er apotemet til basen, det andre benet er pyramidens høyde og hypotenusen er pyramidens apotem. Ved å bruke Pythagoras teorem på hypotenusen til mål x,
\(x^2=3^2+4^2\)
\(x = 5\ cm\)
Alternativ A.
spørsmål 2
Hvis apotemet til en firkant er y cm, er siden av firkanten det
De) \(\frac{1}3y \) cm
B) \(\frac{1}2y \) cm
c) y cm
d) 2 år cm
e) 3y cm
Vedtak
Apotemet til en firkant er halvparten av lengden av siden av firkanten. Derfor, hvis apotemet måler y cm, måler kvadratet 2y cm.
Alternativ D.
Av Maria Luiza Alves Rizzo
Matte lærer