Standardavvik: hva det er, hvordan beregne det, eksempler

O standardavvik er et mål på spredning, det samme er varians og variasjonskoeffisient. Når vi skal bestemme standardavviket, kan vi etablere et område rundt det aritmetiske gjennomsnittet (divisjon mellom summen av tall i en liste og antall tall lagt til) hvor mesteparten av dataene er konsentrert. Jo større verdien av standardavviket er, desto større er variabiliteten til dataene, det vil si desto større avvik fra det aritmetiske gjennomsnittet.

Les også: Modus, gjennomsnitt og median - de viktigste målene for sentrale tendenser

Oppsummering av standardavvik

• Standardavvik er et mål på variasjon.
• Standardavviksnotasjon er den små greske bokstaven sigma (σ) eller bokstaven s.
• Standardavviket brukes til å verifisere variabiliteten til dataene rundt gjennomsnittet.
• Standardavviket bestemmer et område \(\venstre[\mu-\sigma,\mu+\sigma\høyre]\), der mesteparten av dataene er plassert.
• For å beregne standardavviket må vi finne kvadratroten av variansen:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\venstre (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

Hva er standardavvik?

Standardavviket er en spredningstiltak vedtatt i statistikk. Bruken er knyttet til varians tolkning, som også er et mål på spredning.

I praksis er standardavviket bestemmer et intervall, sentrert på det aritmetiske gjennomsnittet, der mesteparten av dataene er konsentrert. Jo større verdien av standardavviket er, desto større er uregelmessigheten til dataene (mer informasjon heterogen), og jo mindre verdien av standardavviket er, desto mindre er uregelmessigheten til dataene (mer informasjon homogen).

Hvordan beregne standardavviket?

For å beregne standardavviket til et datasett, vi må finne kvadratroten av variansen. Så formelen for å beregne standardavviket er

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\venstre (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

• \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → data involvert.
• μ → aritmetisk gjennomsnitt av dataene.
• N → mengde data.
• \( \sum_{i=1}^{N}\venstre (x_i-\mu\right)^2\ =\ \venstre (x_1-\mu\right)^2+\venstre (x_2-\mu\right) )^2+\venstre (x_3-\mu\høyre)^2+...+\venstre (x_N-\mu\høyre)^2 \)

Det siste elementet, som refererer til telleren til radikanden, indikerer summen av kvadrater av forskjellen mellom hvert datapunkt og det aritmetiske gjennomsnittet. Vær oppmerksom på at måleenheten for standardavviket er samme måleenhet som dataene x₁,x₂,x₃,…,x_Nei.

Selv om skrivingen av denne formelen er litt kompleks, er anvendelsen enklere og mer direkte. Nedenfor er et eksempel på hvordan du bruker dette uttrykket for å beregne standardavviket.

• Eksempel:

I to uker ble følgende temperaturer registrert i en by:

Uke/dag	søndag	Sekund	Tredje	Fjerde	Femte	fredag	lørdag
uke 1	29°C	30°C	31°C	31,5°C	28°C	28,5°C	29°C
uke 2	28,5°C	27°C	28°C	29°C	30°C	28°C	29°C

I hvilken av de to ukene holdt temperaturen seg mer regelmessig i denne byen?

Vedtak:

For å analysere temperaturregularitet må vi sammenligne standardavvikene til temperaturene registrert i uke 1 og 2.

• La oss først se på standardavviket for uke 1:

Merk at gjennomsnittet μ₁ Det er Nei₁ de er

\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\approx29.57\)

\(N_1=7 \) (7 dager i uken)

Vi må også beregne kvadratet på forskjellen mellom hver temperatur og gjennomsnittstemperaturen.

\(\venstre (29-29.57\høyre)^2=0.3249\)

\(\venstre (30-29.57\høyre)^2=0.1849\)

\(\venstre (31-29.57\høyre)^2=2.0449\)

\(\venstre (31,5-29,57\høyre)^2=3,7249\)

\(\venstre (28-29.57\høyre)^2=2.4649\)

\(\venstre (28.5-29.57\høyre)^2=1.1449\)

\(\venstre (29-29.57\høyre)^2=0.3249\)

Legger vi til resultatene, har vi at telleren for radikanden i standardavviksformelen er

\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)

Så uke 1 standardavviket er

\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\venstre (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \approx1,208\ °C\)

Merk: Dette resultatet betyr at mesteparten av uke 1 temperaturer er i intervallet [28,36 °C, 30,77 °C], det vil si intervallet \(\venstre[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\høyre]\).

• La oss nå se på uke 2 standardavvik:

Etter samme resonnement har vi

\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)

\(N_2=7\)

\(\venstre (28.5-28.5\høyre)^2=0\)

\(\venstre (27-28,5\høyre)^2=2,25\)

\(\venstre (28-28,5\høyre)^2=0,25\)

\(\venstre (29-28,5\høyre)^2=0,25\)

\(\venstre (30-28,5\høyre)^2=2,25\)

\(\venstre (28-28,5\høyre)^2=0,25\)

\(\venstre (29-28,5\høyre)^2=0,25\)

\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)

Så uke 2 standardavviket er

\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\venstre (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \approx0,89\ °C\)

Dette resultatet betyr at de fleste uke 2 temperaturer er i området \(\venstre[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\høyre]\), det vil si rekkevidden \(\venstre[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\høyre]\).

innse det \(\sigma_2, det vil si at standardavviket for uke 2 er mindre enn standardavviket for uke 1. Derfor presenterte uke 2 mer regulære temperaturer enn uke 1.

Hva er typene standardavvik?

Typene standardavvik er relatert til typen dataorganisasjon. I forrige eksempel jobbet vi med standardavviket til ugrupperte data. For å beregne standardavviket til et sett med ellers organiserte data (for eksempel grupperte data), må du justere formelen.

Hva er forskjellene mellom standardavvik og varians?

standardavviket er kvadratroten av variansen:

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\venstre (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)

\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\venstre (x_i-\mu\right)^2}{N}\)

Når du bruker varians for å bestemme variabiliteten til et datasett, har resultatet dataenheten kvadratisk, noe som gjør analysen vanskelig. Dermed er standardavviket, som har samme enhet som dataene, et mulig verktøy for å tolke variansresultatet.

Vite mer:Absolutt frekvens – antall ganger samme respons dukket opp under datainnsamling

Løste øvelser på standardavvik

Spørsmål 1

(FGV) I en klasse på 10 elever var elevenes karakterer i en vurdering:

6

7

7

8

8

8

8

9

9

10

Standardavviket til denne listen er omtrentlig

A) 0,8.

B) 0,9.

C) 1.1.

D) 1.3.

E) 1,5.

Vedtak:

Alternativ C.

Ifølge uttalelsen, N = 10. Gjennomsnittet på denne listen er

\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)

Dessuten,

\(\venstre (6-8\høyre)^2=4\)

\(\venstre (7-8\høyre)^2=1\)

\(\venstre (8-8\høyre)^2=0\)

\(\venstre (9-8\høyre)^2=1\)

\(\venstre (10-8\høyre)^2=4\)

\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)

Så standardavviket til denne listen er

\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\approx1.1\)

spørsmål 2

Tenk på utsagnene nedenfor og ranger hver av dem som T (sann) eller F (falsk).

Jeg. Kvadratroten av variansen er standardavviket.

II. Standardavviket har ingen sammenheng med det aritmetiske gjennomsnittet.

III. Varians og standardavvik er eksempler på spredningsmål.

Riktig rekkefølge, fra topp til bunn, er

A) V-V-F

B) F-F-V

C) F-V-F

D) F-F-F

E) V-F-V

Vedtak:

E alternativ.

Jeg. Kvadratroten av variansen er standardavviket. (ekte)

II. Standardavviket har ingen sammenheng med det aritmetiske gjennomsnittet. (falsk)
Standardavviket angir et intervall rundt det aritmetiske gjennomsnittet der mesteparten av dataene faller.

III. Varians og standardavvik er eksempler på spredningsmål. (ekte)

Av Maria Luiza Alves Rizzo
Matte lærer

Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm