Øvelser på PA og PG

Studer aritmetisk og geometrisk progresjon med løste og kommenterte oppgaver trinn for trinn.

Øvelse 1

I en AP er a2 = 5 og a7 = 15. Finn a4 og legg til de fem første leddene i denne AP.

se svaret

Riktig svar: a4 = 9 og S = 35.

Vedtak

1. trinn: bestemme årsaken og a4.
For å forlate a2 og komme til a7 legger vi til 5r, da det er "avstanden" mellom 7 og 2.

a med 7 nedskrevne tilsvarer a med 2 nedskrevne pluss 5 r 15 mellomrom er lik mellomrom 5 mellomrom pluss mellomrom 5 r 15 mellomrom minus mellomrom 5 mellomrom er lik 5 r 10 mellomrom er lik mellomrom 5 r 10 over 5 er lik r 2 er lik r

Begrepet a4 er begrepet a2 pluss 2r, fordi for å komme fra a2 til a4, "fremsetter" vi 2r. Snart,

a med 4 nedskrevne tilsvarer a med 2 nedskrevne pluss 2 r a med 4 nedskrevne tilsvarer 5 mellomrom pluss mellomrom 2.2 a med 4 nedskrevne tilsvarer 5 mellomrom pluss mellomrom 4 mellomrom er lik mellomrom 9

Derfor er den fjerde termen av AP 9.

2. trinn: Bestem summen av de første fem leddene i denne AP.

Summen av vilkårene til en AP er gitt av:

S er lik teller venstre parentes a med 1 senket parentes pluss a med n senket høyre parentes. n over nevner 2 slutten av brøk

a1 = a2 - r (fordi vi går én posisjon tilbake i PA, med start fra a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (fordi vi går tilbake to posisjoner i PA, starter fra a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

S er lik teller venstre parentes 3 mellomrom pluss mellomrom 11 høyre parentes.5 over nevner 2 slutten av brøk er lik teller 14 mellomrom. mellomrom 5 over nevner 2 slutten av brøk er lik 70 over 2 er lik 35

Øvelse 2

(Aeronautics 2021) En professor skrev en 8-terms økende aritmetisk progresjon som starter med tallet 3 og består kun av naturlige tall. Han la da merke til at andre, fjerde og åttende ledd i denne aritmetiske progresjonen dannet, i den rekkefølgen, en geometrisk progresjon. Professoren observerte også at summen av leddene for denne geometriske progresjonen var lik

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

se svaret

Svar: a) 42

Av AP er begrepene som danner en PG a2, a4 og a8:

a med 2 senket er lik a med 1 senket pluss venstre parentes n minus 1 høyre parentes r a med 2 subscript er lik 3 pluss venstre parentes 2 minus 1 høyre parentes r a med 2 subscript er lik 3 pluss r plass

a med 4 senket er lik a med 1 senket pluss venstre parentes 4 minus 1 høyre parentes r a med 4 senket er lik 3 mellomrom pluss mellomrom 3 r

a med 8 senket er lik 3 pluss venstre parentes 8 minus 1 høyre parentes r a med 8 senket er lik 3 pluss 7 r

Summen av de tre leddene er:

S er lik a med 2 senket pluss a med 4 senket pluss a med 8 senket S er lik venstre parentes 3 pluss r høyre parentes mellomrom pluss mellomrom venstre parentes 3 pluss 3 r parentes høyre mellomrom pluss mellomrom venstre parentes 3 pluss 7 r høyre parentes S er lik 9 mellomrom pluss mellomrom 11 r mellomrom mellomrom venstre parentes og spørsmålsrom I parentes Ikke sant

For å bestemme r bruker vi det geometriske gjennomsnittet:

a med 4 senket er lik kvadratroten av a med 2 senket. a med 8 senket ende av rot 3 pluss 3 r er lik kvadratroten av venstre parentes 3 pluss r høyre parentes. venstre parentes 3 pluss 7 r høyre parentes rotende

Kvadring på begge sider

venstre parentes 3 pluss 3 r høyre parentes i kvadrat tilsvarer venstre parentes 3 pluss r høyre parentes. venstre parentes 3 pluss 7 r høyre parentes

Kvadring av første termin og fordeling av andre termin:

Ved å erstatte r i ligning I, har vi:

S mellomrom er lik mellomrom 9 mellomrom pluss mellomrom 11 r S mellomrom er lik mellomrom 9 mellomrom pluss mellomrom 11.3 S mellomrom er lik mellomrom 9 mellomrom pluss mellomrom 33 S mellomrom er lik mellomrom 42

Derfor er summen av de tre første leddene lik 42.

Øvelse 3

(PM-SP 2019) I 2015 startet et stort oljeselskap prosessen med å gjenbruke vannet som ble brukt til å kjøle ned delene som produsert og laget en fremskrivning av en gradvis økning, i aritmetisk progresjon, frem til år 2050, av volumet av vann som vil bli gjenbrukt, år for år år.

Tabellen viser volumene av vann gjenbrukt de første 3 årene:

Tabell knyttet til løsningen av spørsmålet.

La An være den generelle termen for den aritmetiske progresjonen som indikerer volumet av gjenbrukt vann, i millioner av m³, med n = 1, som representerer volumet av vann gjenbrukt i år 2016, n = 2, representerer volumet vann gjenbrukt i år 2017, og så videre suksessivt.

Under disse forholdene må man

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

se svaret

Riktig svar: c) An = 0,5n + 23.

objektiv
Bestem An som en funksjon av n.

Vedtak
Forholdet mellom den aritmetiske progresjonen er 0,5, fordi 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Den generelle termen for en AP er gitt av:

A med n senket tegn er lik mellomrom a med 1 senket mellomrom pluss mellomrom venstre parentes n minus 1 høyre parentes r

Bytter ut verdiene:

A med n senket skrift er lik 23 komma 5 mellomrom pluss mellomrom 0 komma 5 n mellomrom minus mellomrom 0 komma 5 A med n senket skrift er lik 0 komma 5 n pluss 23 mellomrom

Øvelse 4

(CEDERJ 2021) Sekvensen (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) er en aritmetisk progresjon av forhold 6. Fjerde termin i denne progresjonen er

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

se svaret

Riktig svar: a) 31

Vedtak
r mellomrom er lik mellomrom a med 2 senket skrift minus a med 1 senket 6 mellomrom er lik mellomrom 3 x pluss 4 mellomrom minus parentes venstre 2x pluss 3 parentes høyre 6 er lik 3x pluss 4 minus 2x minus 3 6 er lik x pluss 1x er lik 6 minus 1x er lik 5

Det fjerde leddet er a3 + r, slik:

a med 4 nedskrevne tilsvarer a med 3 nedskrevne pluss r a med 4 nedskrevne tilsvarer 4 x mellomrom pluss mellomrom 5 mellomrom pluss mellomrom r

Erstatter de funnet verdiene:

a med 4 nedskrevne tilsvarer 4,5 mellomrom pluss mellomrom 5 mellomrom pluss mellomrom 6 a med 4 nedskrevne tilsvarer 20 pluss mellomrom 5 mellomrom pluss mellomrom 6 a med 4 nedskrevne tilsvarer 31

Øvelse 5

(Enem 2021) I Brasil, tiden som kreves for en student å fullføre opplæringen frem til eksamen i et høyere kurs, med tanke på 9 år på grunnskolen, 3 år på videregående og 4 år med eksamen (gjennomsnittlig tid), er det 16 år gammel. Realiteten til brasilianere viser imidlertid at den gjennomsnittlige studietiden for personer over 14 år fortsatt er veldig liten, som vist i tabellen.
Tabell knyttet til løsningen av spørsmålet.

Tenk på at økningen i studietid, ved hver periode, for disse personene, forblir konstant ut året 2050, og at det er ment å nå nivået på 70 % av tiden som kreves for å oppnå høyere kurs gitt tidligere.
Året hvor gjennomsnittlig studietid for personer over 14 år når ønsket prosentandel vil være

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

se svaret

Riktig svar: d) 2035.

1. del: bestem 70 % av 16.

70 prosent tegn mellomrom 16 mellomrom er lik mellomrom 70 over 100 multiplikasjonstegn 16 er lik 1120 over 100 er lik 11 poeng 2

2. del: bestemme etter hvor mange perioder 11,2 studieår skal nås.

Studietidssekvensen er en aritmetisk progresjon (AP) med et forhold på 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Beløpet 11,2 år nås i:

A med n senket skrift er lik a med 1 senket pluss mellomrom venstre parentes n minus 1 høyre parentes r 11 komma 2 er lik 5 komma 2 pluss venstre parentes n minus 1 høyre parentes 0 komma 6 11 komma 2 er lik 5 komma 2 pluss 0 komma 6 n minus 0 komma 6 11 komma 2 minus 5 komma 2 pluss 0 komma 6 er lik 0 komma 6 n 6 pluss 0 komma 6 er lik 0 komma 6 n 6 komma 6 er lik 0 komma 6 n teller 6 komma 6 over nevner 0 komma 6 slutten av brøk er lik n 11 lik n

Beløpet på 11,2 vil bli nådd i den 11. perioden av PA.

3. del: bestemme hvilken som er den 11. terminen i PA for årene.

Forholdet er a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 år

A med 11 nedskrevne er lik a med 1 nedskrevne pluss venstre parentes n minus 1 høyre parentes r A med 11 nedskrevne er lik 1995 pluss venstre parentes 11 minus 1 høyre parentes 4 A med 11 nedskrevne tilsvarer 1995 pluss 10,4 A med 11 nedskrevne tilsvarer 1995 mellomrom pluss mellomrom 40 A med 11 nedskrevne er lik 2035

Konklusjon
70% av de 16 årene som kreves for å fullføre en lavere grad vil bli nådd i 2035.

Øvelse 6

(Brannvesen 2021) Et fly og en brannbil har vannreservoarer med kapasitet på henholdsvis 12 000 og 8 000 liter vann. Lastebilen har en pumpe på 2,5 GPM, noe som betyr at den er i stand til å pumpe 2,5 liter per minutt.

Fra denne hypotetiske situasjonen, bedøm følgende element, med tanke på at 1 gallon er lik 3,8 liter vann.

Hvis en vanntank har en kapasitet på X tusen liter, slik at 8, X og 12 er i geometrisk progresjon, i den rekkefølgen, er kapasiteten til den tanken mindre enn 10 tusen liter.

Ikke sant

Feil

se svaret

Riktig svar: rett

objektiv
Sjekk om X < 10.

Vedtak
I en geometrisk progresjon, PG, er mellomleddet det geometriske gjennomsnittet mellom ytterpunktene.

X mindre enn kvadratroten av 8,12 slutten av roten X plass mindre enn kvadratroten av 96

Faktisk er den omtrentlige kvadratroten av 96 9,79. Vi konkluderer med at kapasiteten X til tanken er mindre enn 10 tusen liter.

Øvelse 7

(Aeronautics 2021) Vær P.G. (24, 36, 54, ...). Ved å legge til 5. og 6. vilkår i denne G.P. det har vært

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

se svaret

Riktig svar: c) 1215/4

objektiv
Legg til a5 + a6

Vedtak

Trinn 1: Bestem forholdet q.

Grunnen til PG er:

q er lik a med 2 nedskrevne over a med 1 nedskrevne tilsvarer 36 over 24 er lik 3 over 2

Trinn 2: Bestem a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

Bytter ut a4 til a5:

a med 5 subscript space er lik space a med 3 subscript space. mellomrom q mellomrom. mellomrom q mellomrom er lik mellomrom a med 3 subscript space. mellomrom q kvadrat

Trinn 3: Bestem a6

a6 = a5. q

Bytter ut a5 til a6:

a med 6 nedskrevne er lik a med 5 nedskrevne mellomrom. mellomrom q mellomrom er lik mellomrom a med 3 subscript space. mellomrom q kvadratisk mellomrom. mellomrom q mellomrom er lik mellomrom a med 3 subscript space. mellomrom q i terninger

Trinn 4: Legg til a5 + a6 og erstatte de numeriske verdiene.

a med 5 subscript pluss a med 6 subscript tilsvarer a med 3 subscript. q kvadratisk mellomrom pluss mellomrom a med 3 subscript. q kubert a med 5 subscript pluss a med 6 subscript tilsvarer 54 mellomrom. mellomrom åpner parentes 3 over 2 lukker parentes i kvadrat pluss mellomrom 54 mellomrom. mellomrom åpner parentes 3 over 2 lukker parenteser cubed a med 5 subscript pluss a med 6 subscript lik 54 space. plass 9 over 4 plass pluss plass 54 plass. plass 27 over 8

Setter 54 i bevis:

a med 5 subscript pluss a med 6 subscript lik 54 space åpner parentes 9 over 4 space pluss space 27 over 8 lukker parentes a med 5 nedskrevne pluss a med 6 nedskrevne tilsvarer 54 åpner parentes teller 9 rom. mellomrom 8 over nevner 4 mellomrom. mellomrom 8 slutten av brøk pluss plass teller 27 mellomrom. mellomrom 4 over nevner 4 mellomrom. mellomrom 8 slutt på brøk lukker parentes a med 5 senket pluss a med 6 senket lik 54 åpner parentes 72 over 32 pluss 108 over 32 lukker parentes a med 5 subscript pluss a med 6 subscript lik 54 åpner parentes 180 over 32 lukker parentes a med 5 subscript pluss a med 6 subscript lik 54 rom. mellomrom 180 over 32 tilsvarer 9720 over 32 tilsvarer 1215 over 4

Øvelse 8

(UERJ 2019) Trekantene A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, illustrert nedenfor, har omkretsene p1, p2, p3, henholdsvis. Toppunktene til disse trekantene, fra den andre, er midtpunktene på sidene til den forrige trekanten.

Bilde knyttet til løsningen av problemet.

innrømme det stabel A med 1 senket B med 1 senket med skråstrek over stabel B med 1 senket C med 1 senket med skråstrek over tilsvarer 7 mellomrom og mellomromsstabel A med 1 senket skrift C med 1 skråstrek med skråstrek over er lik 4 .

Dermed definerer (p1, p2, p3) følgende progresjon:

a) ratio aritmetikk = – 8
b) ratio aritmetikk = – 6
c) geometrisk forhold = 1/2
d) geometrisk forhold = 1/4

se svaret

Riktig svar: c) geometrisk forhold = 1/2

Vedtak

Trinn 1: definer omkretsene p1, p2 og p3.

p med 1 nedskreven er lik mellomromstabel A med 1 senket skrift B med 1 senket skrift med skråstrek over pluss mellomromsstabel B med 1 senket skrift C med 1 senket skrift med skråstrek over plussstabel A med 1 senket skrift C med 1 senket skrift med skråstrek over p med 1 senket tilsvarer 7 mellomrom pluss mellomrom 7 mellomrom pluss mellomrom 4 p med 1 senket skrift er lik 18

Ved parallellisme bekrefter vi at sidene i den indre trekanten er halvparten av den umiddelbart ytre.

For eksempel, B2A2 = A1C2

Dermed er p2 halvparten av p1, akkurat som p3 er halvparten av p2. Vi har:

p med 2 nedskrevne er lik p med 1 nedskrevne delt på 2 er lik 9 og p med 3 nedskrevne er lik p med 2 nedskrevne delt på 2 er lik 9 mellomrom delt på 2 er lik 4 komma 5

Trinn 2: Sett sammen progresjonen og klassifiser den.

p med 1 senket kommamellomrom p med 2 senket kommamellomrom p med 3 senket kommamellomrom er lik mellomrom 18 kommamellomrom 9 kommamellomrom 4 komma 5

Det viser seg at for å bestemme p2, multipliseres 18 med 1/2.

18 mellomrom multiplikasjonstegn mellomrom 1 halv er lik 9

Dessuten er 9 multiplisert med 1/2 4,5.

9 mellomrom multiplikasjonstegn mellomrom 1 halv er lik 9 over 2 er lik 4 komma 5

Konklusjon
Vi verifiserer at progresjonen er geometrisk, med et forhold på 1/2.

Øvelse 9

(Enem 2021) Grafen viser produksjonen registrert av en industri i månedene januar, mars og april.

På grunn av logistiske problemer ble ikke produksjonsundersøkelsen for februar måned gjennomført. Informasjon for de andre tre månedene tyder imidlertid på at produksjonen i denne firemånedersperioden vokste eksponentielt, som vist av trendkurven i grafen.

Forutsatt at veksten i denne perioden var eksponentiell, kan det utledes at produksjonen av denne industrien i februar måned, i tusenvis av enheter, var

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

se svaret

Riktig svar: c) 240.

Vedtak

Den generelle termen for en PG er en eksponentiell a som funksjon av n, der a1 og q er konstante tall.