Vektor er representasjonen som bestemmer størrelsen, retningen og retningen til en vektormengde. Vektorer er rette segmenter orientert med en pil i den ene enden.
Vi navngir vektorene med en bokstav og en liten pil.
Vektorer karakteriserer vektormengder, som er mengder som trenger orientering, det vil si retning og retning. Noen eksempler er: kraft, hastighet, akselerasjon og forskyvning. Den numeriske verdien er ikke nok, det er nødvendig å beskrive hvor disse mengdene virker.
modul til en vektor
Vektorens modul, eller intensitet, er dens numeriske verdi, etterfulgt av måleenheten for størrelsen den representerer, for eksempel:
Vi angir modulen mellom streker med pilen eller, bare bokstaven, uten streker og uten pil.
Lengden på vektoren er proporsjonal med modulen. En større vektor representerer en større modul.
vektormodulen er 4 enheter, mens vektor
er 2 enheter.
Retning av en vektor
Retningen til vektoren er helningen til støttelinjen som den er bestemt på. Det er bare én retning for hver vektor.
følelse av en vektor
Retningen til vektoren vises med pilen. Den samme retningen kan inneholde to retninger, for eksempel opp eller ned og venstre eller høyre.
Ved å adoptere en retning som positiv, er den motsatte retningen, negativ, representert med et minustegn før vektorsymbolet.
Resulterende vektor
Den resulterende vektoren er resultatet av vektoroperasjoner og tilsvarer et sett med vektorer. Det er praktisk å kjenne vektoren som representerer effekten produsert av mer enn én vektor.
For eksempel kan en kropp utsettes for et sett med krefter, og vi ønsker å vite resultatet de vil produsere, alle sammen, på denne kroppen. Hver kraft er representert av en vektor, men resultatet kan representeres av bare én vektor: den resulterende vektoren.
Den resulterende vektoren, , av horisontal retning og retning til høyre, er resultatet av addisjoner og subtraksjoner av vektorene.
,
,
og
. Den resulterende vektoren viser en tendens til at kroppen beveger seg i denne orienteringen.
Vektorene med vertikal retning har samme størrelse, det vil si samme modul. Siden de har motsatt betydning, kansellerer de hverandre. Dette viser at det ikke vil være noen bevegelse av kassen i vertikal retning.
Ved analyse av vektorene og
, som har samme retning og motsatte retninger, innser vi at en del av kraften "blir" til høyre, som vektoren
er større enn
, det vil si modulen til
den er større.
For å bestemme den resulterende vektoren, utfører vi vektoraddisjons- og subtraksjonsoperasjoner.
Addisjon og subtraksjon av vektorer med samme retning
Med like sanser, legger vi til modulene og beholder retningen og retningen.
Eksempel:
Grafisk setter vi vektorene i rekkefølge, uten å endre modulene deres. Begynnelsen på den ene må falle sammen med slutten på den andre.
Den kommutative egenskapen til addisjon er gyldig, siden rekkefølgen ikke endrer resultatet.
Med motsatte sanser, trekker vi fra modulene og holder retningen. Retningen til den resulterende vektoren er retningen til vektoren med den største modulen.
Eksempel:
vektoren er den resterende delen av
, etter å ha trukket seg tilbake
.
Å subtrahere en vektor tilsvarer å addere med det motsatte av den andre.
Addisjon og subtraksjon av vinkelrett vektorer
For å legge til to vektorer med perpendikulære retninger, flytter vi vektorene uten å endre deres modul, slik at begynnelsen av den ene faller sammen med slutten av den andre.
Den resulterende vektoren kobler begynnelsen av den første til slutten av den andre.
For å bestemme størrelsen på den resulterende vektoren mellom to perpendikulære vektorer, matcher vi starten på de to vektorene.
Modulen til den resulterende vektoren bestemmes av Pythagoras teorem.
Addisjon og subtraksjon av skråvektorer
To vektorer er skråstilte når de danner en vinkel mellom retningene deres som ikke er 0°, 90° og 180°. For å legge til eller subtrahere skråvektorer brukes parallellogram- og polygonallinjemetodene.
parallellogram metode
For å utføre metoden, eller regelen, for parallellogrammet mellom to vektorer og tegne den resulterende vektoren, følger vi disse trinnene:
Det første trinnet er å plassere opprinnelsen deres på samme punkt og tegne linjer parallelt med vektorene for å danne et parallellogram.
Den andre er å tegne en diagonalvektor på parallellogrammet, mellom foreningen av vektorer og foreningen av parallelle linjer.
De stiplede linjene er parallelle med vektorene og den geometriske figuren som dannes er et parallellogram.
Den resulterende vektoren er linjen som forbinder opprinnelsen til vektorene med parallellene.
O modulen til den resulterende vektoren er oppnådd av Cosinus-loven.
Hvor:
R er størrelsen på den resulterende vektoren;
a er vektormodulen ;
b er modulen til vektoren ;
er vinkelen som dannes mellom retningene til vektorene.
Parallellogrammetoden brukes til å legge til et par vektorer. Hvis du vil legge til mer enn to vektorer, må du legge dem til to og to. Til vektoren som kommer fra summen av de to første, legger vi til den tredje og så videre.
En annen måte å legge til mer enn to vektorer på er å bruke polygonlinjemetoden.
polygonal linje metode
Den polygonale linjemetoden brukes til å finne vektoren som er et resultat av å legge til vektorer. Denne metoden er spesielt nyttig når du legger til mer enn to vektorer, for eksempel følgende vektorer ,
,
og
.
For å bruke denne metoden må vi ordne vektorene slik at slutten av en (pil) faller sammen med begynnelsen av en annen. Det er viktig å bevare modulen, retningen og retningen.
Etter å ha ordnet alle vektorene i form av en polygonal linje, må vi spore den resulterende vektoren som går fra begynnelsen av den første til slutten av den siste.
Det er viktig at den resulterende vektoren lukker polygonet, med pilen sammenfallende med pilen i den siste vektoren.
Den kommutative egenskapen er gyldig, siden rekkefølgen vi plasserer plottvektorene i ikke endrer den resulterende vektoren.
vektor nedbrytning
Å dekomponere en vektor er å skrive komponentene som utgjør denne vektoren. Disse komponentene er andre vektorer.
Hver vektor kan skrives som en sammensetning av andre vektorer, gjennom en vektorsum. Med andre ord kan vi skrive en vektor som summen av to vektorer, som vi kaller komponenter.
Ved hjelp av et kartesisk koordinatsystem, med perpendikulære x- og y-akser, bestemmer vi komponentene til vektoren.
vektoren er resultatet av vektorsummen mellom komponentvektorene.
og
.
vektoren tilt
danner en rettvinklet trekant med x-aksen. Dermed bestemmer vi modulene til komponentvektorene ved hjelp av trigonometri.
Komponentmodul aks.
Komponentmodul ay.
vektormodulen er hentet fra Pythagoras teorem.
Eksempel
En kraft utføres ved å trekke en blokk fra bakken. Kraften på 50 N-modulen vippes 30° fra horisontalen. Bestem de horisontale og vertikale komponentene til denne kraften.
Data:
Multiplikasjon av et reelt tall med en vektor
Ved å multiplisere et reelt tall med en vektor, vil resultatet bli en ny vektor, som har følgende egenskaper:
- Samme retning hvis reelt tall er ikke-null;
- Samme retning, hvis det reelle tallet er positivt, og i motsatt retning hvis det er negativt;
- Modulen vil være produktet av modulen til det reelle tallet og modulen til den multipliserte vektoren.
Produkt mellom et reelt tall og en vektor
Hvor: er vektoren som kommer fra multiplikasjonen;
er det reelle tallet;
er vektoren som multipliseres.
Eksempel
La det reelle tallet n = 3 og vektoren av modulo 2 er produktet mellom dem lik:
Modulberegning
Retningen og retningen vil være den samme.
Øvelse 1
(Enem 2011) Friksjonskraften er en kraft som er avhengig av kontakten mellom legemer. Det kan defineres som en motstridende kraft til legemers forskyvningstendens og genereres på grunn av uregelmessigheter mellom to overflater i kontakt. På figuren representerer pilene krefter som virker på kroppen og den forstørrede prikken representerer uregelmessighetene som eksisterer mellom de to flatene.
På figuren er vektorene som representerer kreftene som forårsaker forskyvning og friksjon henholdsvis:
De) 
B) 
ç) 
d) 
og) 
Riktig svar: bokstav a) 
Pilene representerer vektorene av krefter som virker i bevegelsen i horisontal retning, og er et handling-reaksjonspar, de har motsatte retninger.
De vertikale pilene representerer handlingene til vektkraften og normalkraften, og ettersom de er like, opphever de hverandre, uten bevegelse i vertikal retning.
Øvelse 2
(UEFS 2011) Vektordiagrammet i figuren skisserer kreftene som utøves av to gummibånd på en tann til en person som gjennomgår kjeveortopedisk behandling.
Forutsatt F = 10,0N, sen45° = 0,7 og cos45° = 0,7, er intensiteten av kraften som påføres av elastikkene på tannen, i N, lik
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Riktig svar: c) 2√85
Intensiteten til kraften som påføres tannen er oppnådd av Cosinusloven.
a og b er lik 10 N.
Å faktorisere kvadratroten gir oss:
Derfor er intensiteten av den resulterende kraften påført av gummibåndene på tannen .
Øvelse 3
(PUC RJ 2016) Kreftene F1, F2, F3 og F4, i figuren, danner rette vinkler på hverandre og deres moduler er henholdsvis 1 N, 2 N, 3 N og 4 N.
Regn ut modulen til nettokraften i N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Riktig svar: d) 2√ 2
Vi bruker polygonal linjemetoden for å bestemme den resulterende vektoren. For å gjøre dette omorganiserer vi vektorene slik at slutten av den ene faller sammen med begynnelsen av den andre, slik:
Ved å bruke et koordinatsystem med opprinnelse i begynnelsen av den resulterende vektoren, kan vi bestemme modulene til komponentene, som følger:
Derfor må vi:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
Størrelsen på den resulterende vektoren bestemmes av Pythagoras teorem.
Derfor er modulen til nettokraften lik .
lære mer om
- Vektorer: addisjon, subtraksjon og dekomponering.
- Vektormengder
✖
