settet med primtall er gjenstand for studier i matte fra antikkens Hellas. Euklides diskuterte allerede i sitt store verk «The elements» emnet, og klarte å demonstrere at dette sett er uendelig. Som vi vet, er primtallene de som har tallet 1 som divisor, og de selv, dermed, Å finne veldig store primtall er ikke en lett oppgave, og Eratosthenes sin sikt gjør det enkelt. møte.
Hvordan vet du når et tall er primtall?
Vi vet at et primtall er aden som har som deler tallet 1 og seg selv, så et tall som i listen over divisorer har andre tall enn 1 og i seg selv vil ikke være primtall, se:
Ved å liste opp skillelinjene 11 og 30 har vi:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Merk at tallet 11 bare har tallet 1 og seg selv som delere, så nummer 11 er et primtall. Se nå på divisorene til tallet 30, den har, i tillegg til tallet 1 og seg selv, tallene 2, 3, 5, 6 og 10 med divisorer. Derfor, tallet 30 er ikke primtall.
→ Eksempel: Oppgi primtall mindre enn 15.
For dette vil vi liste opp divisorene for alle tall mellom 2 og 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Derfor er primtall mindre enn 15:
2, 3, 5, 7, 11 og 13
La oss innse det, denne oppgaven ville ikke vært særlig hyggelig, for eksempel hvis vi skulle skrive ned alle primtallene mellom 2 og 100. For å unngå det, vil vi lære å bruke, i neste emne, silen til Eratosthenes.
Sil av Eratosthenes
Silen til Eratosthenes er en verktøy som tar sikte på å lette bestemmelsen av primtall. Silen består av fire trinn, og det er nødvendig, for å forstå dem, å huske på delebarhetskriterier. Før vi starter trinn for trinn, må vi lage en tabell fra tallet 2 til ønsket tall, siden tallet 1 ikke er primtall. Deretter:
→ Trinn 1: Fra delebarhetskriteriet med 2 har vi at partallene alle er delbare med det, det vil si nummer 2 vil vises i listen over divisorer, så disse tallene vil ikke være prime, og vi må ekskludere dem fra bord. Er de:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Steg 2: Fra kriteriet om delbarhet med 3, vet vi at et tall er delelig med 3 hvis sum av sifrene er det også. Derfor må vi ekskludere disse tallene fra tabellen, siden de ikke er prime fordi det er et annet tall enn 1 og seg selv i listen over divisorer. Så vi må ekskludere tallene:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Trinn 3: Fra kriteriet delbarhet med 5 vet vi at alle tall som slutter på 0 eller 5 er delbare med 5, så vi må ekskludere dem fra tabellen.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Trinn 4: På samme måte må vi ekskludere tall som er multipler av 7 fra tabellen.
14, 21, 28, …, 546, …
– Når vi kjenner sikten til Eratosthenes, la oss bestemme primtallene mellom 2 og 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ er ikke søskenbarn
→ primtall
Så primtallene mellom 2 og 100 er:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Les også: MMC- og MDC-beregning: hvordan gjør jeg det?
Prime faktor nedbrytning
DE primfaktornedbrytning er formelt kjent som aritmetikks grunnleggende teorem. Denne teoremet sier at evt heltall forskjellig fra 0 og større enn 1 kan representeres ved produktet av primtall. For å bestemme den faktoriserte formen til et heltall, må vi utføre suksessive divisjoner til vi når resultatet lik 1. Se eksempelet:
→ Bestem den faktoriserte formen til tallene 8, 20 og 350.
For å faktorisere tallet 8, må vi dele det med det første mulige primtallet, i dette tilfellet med 2. Deretter utfører vi en annen divisjon også med primtall som er mulig, denne prosessen gjentas til vi når tallet 1 som svar på divisjonen. Se:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Derfor er den faktoriserte formen av tallet 8 2 · 2 · 2 = 23. For å lette denne prosessen, vil vi ta i bruk følgende metode:
Derfor kan tallet 8 skrives som: 23.
→ For å faktorisere tallet 20 vil vi bruke samme metode, det vil si: dele det på primtall.
Så tallet 20, i sin faktoriserte form, er: 2 · 2 · 5 eller 22 · 5.
→ På samme måte vil vi gjøre med tallet 350.
Derfor er tallet 350, i sin faktoriserte form: 2 · 5 · 5 · 7 eller 2 · 52 · 7.
Se også: Vitenskapelig notasjon: hva er det for?
løste øvelser
Spørsmål 1 – Forenkle uttrykket:
Løsning
La oss først faktorisere uttrykket for å gjøre det enklere.
Dermed er 1024 = 210, og derfor kan vi erstatte det ene med det andre i øvelsesuttrykket. Og dermed:
av Robson Luiz
Matte lærer
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm
