Se for deg å leke med klinkekuler for å danne trekanter. Du kan først vurdere at en ball er som en liten trekant:
•
Deretter legger du to klinkekuler under dem og danner de tre toppunktene til a triangel:
•
• •
Hvis du plasserer ytterligere tre kuler under disse, vil det danne en annen trekant:
•
• •
• • •
Ved hvert trinn med å legge til kuler i forhold til mengden tidligere plassert, vil det alltid være dannelse av trekanter. Se trekanten dannet ved å legge til ytterligere fire kuler:
•
• •
• • •
• • • •
Det totale antallet baller i hvert trinn kjennetegner en klasse med tall som kalles trekantetall. Matematikeren Karl Friedrich Gauss oppdaget en formel for å angi den totale mengden i hver trekant, hvor s1tilsvarte den første trekanten, s2, til den andre trekanten, og så videre. Summene beskrevet av Gauss startet med en og, på hvert trinn ble det lagt til et tall som tilsvarte en enhet over det siste tallet som ble lagt til:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Resultatene av disse summene var trekanttallene: 1, 3, 6, 10, 15... Merk at det er etablert et mønster i hver av disse summene. Ser vi nøye, kan vi se at hver og en av dem er en aritmetisk progresjon av grunn 1. Så her er gauss sum, som fastslår at, i en konstant forholdssum, hvis vi legger det første elementet til det siste, vil vi oppnå samme resultat som å legge det andre elementet til det nest siste. La oss se hvordan Gauss sum-prosessen for summer oppstår. s6 og s7:
Gauss sum prosess brukt på summen av trekantet tall
Ikke stopp nå... Det er mer etter reklamen ;)
hvis stopp s6 og s7 vi har summene fra bildet ovenfor, la oss gjengi denne summen for s8, S9, S10 og s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Vi kan generalisere for å få en sum for sNei:
sNei = n. (n+1), hvis n er partall
2
sNei = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, hvis n er oddetall
2 2
akkurat som i tallmagi, kan vi vise et annet interessant faktum om trekanttall: summen av påfølgende trekanttall resulterer alltid i tall som kan klassifiseres som perfekte kvadrater, det vil si tall som har rot torget. La oss se:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Resultatene som ble oppnådd, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 og 121, er alle perfekte firkanter.
Av Amanda Gonçalves
Uteksaminert i matematikk
Vil du referere til denne teksten i et skole- eller akademisk arbeid? Se:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Trekantet tall"; Brasil skole. Tilgjengelig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Åpnet 27. juli 2021.
